Question : La longueur d’une arête d’un cube est de 7 cm. Si cette longueur est augmentée de \(25\,\%\), de quel pourcentage le volume du cube augmente-t-il ?
Le cube initial de 7 cm de côté a un volume de 343 cm³. Après une augmentation de 25 % de l’arête (soit 8,75 cm), le nouveau volume est d’environ 669,92 cm³, soit une hausse d’environ 95,3 %.
Pour résoudre cet exercice, nous allons comparer le volume initial du cube avec le volume après l’augmentation de la longueur de l’arête de 25 %. Voici les étapes détaillées :
Calcul du volume initial :
La formule pour le volume d’un cube est :
V = (longueur de l’arête)³
Ici, l’arête mesure 7 cm, donc
V₁ = 7³ = 7 × 7 × 7 = 343 cm³.
Détermination de la nouvelle longueur de l’arête :
Une augmentation de 25 % signifie que la nouvelle longueur est :
7 cm + 25 % de 7 cm
Or, 25 % de 7 cm = 0,25 × 7 = 1,75 cm.
Donc, la nouvelle longueur = 7 cm + 1,75 cm = 8,75 cm.
On peut aussi écrire 8,75 cm comme 7 × 1,25.
Calcul du nouveau volume :
La nouvelle longueur étant 7 × 1,25, le nouveau volume est :
V₂ = (7 × 1,25)³
Or, (7 × 1,25)³ = 7³ × (1,25)³
Puisque 7³ = 343, on a :
V₂ = 343 × (1,25)³.
Calculons (1,25)³ :
(1,25)³ = 1,25 × 1,25 × 1,25 = 1,953125.
Ainsi, V₂ = 343 × 1,953125 ≈ 669,92 cm³.
Comparaison des deux volumes pour trouver le pourcentage
d’augmentation :
On détermine l’augmentation en faisant la différence entre le nouveau
volume et l’ancien volume, puis en exprimant cette différence en
pourcentage du volume initial.
Augmentation en volume = V₂ – V₁ ≈ 669,92 cm³ – 343 cm³ ≈ 326,92
cm³.
Pour trouver le pourcentage d’augmentation, on effectue le calcul
suivant :
Pourcentage d’augmentation = (augmentation / V₁) × 100
= (326,92 / 343) × 100
≈ 0,953125 × 100
≈ 95,31 %.
Ainsi, lorsque la longueur de l’arête du cube est augmentée de 25 %, le volume du cube augmente d’environ 95,3 %.