Un cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm a le même volume qu’un cylindre de même rayon.
Calcule le volume du cône. Fournis la valeur exacte puis celle arrondie au \(\mathrm{cm}^{3}\).
En déduis la hauteur du cylindre.
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties : calculer le volume du cône et déterminer la hauteur du cylindre ayant le même volume et le même rayon.
Données :
Formule du volume d’un cône :
La formule pour calculer le volume \(V\) d’un cône est donnée par :
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h \]
Calcul du volume exact :
Remplaçons les valeurs connues dans la formule :
\[ V = \frac{1}{3} \pi (6)^{2} \times 8 \]
Calculons étape par étape :
\[ (6)^{2} = 36 \]
\[ 36 \times 8 = 288 \]
\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 288 = 96\pi \]
Donc, le volume exact du cône est :
\[ V = 96\pi \, \text{cm}^{3} \]
Valeur arrondie du volume :
Pour obtenir une valeur approximative, utilisons la valeur de \(\pi \approx 3,14\) :
\[ V \approx 96 \times 3,14 = 301,44 \, \text{cm}^{3} \]
Arrondi au centième près, le volume du cône est :
\[ V \approx 301,44 \, \text{cm}^{3} \]
Données :
Le cylindre a le même volume que le cône. Nous allons donc utiliser la formule du volume du cylindre pour trouver sa hauteur.
Formule du volume d’un cylindre :
\[ V = \pi r^{2} h_{\text{cyl}} \]
Où \(h_{\text{cyl}}\) est la hauteur du cylindre.
Égalisation des volumes :
Comme le volume du cylindre est égal à celui du cône :
\[ \pi r^{2} h_{\text{cyl}} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h_{\text{cône}} \]
Simplifions en annulant les termes communs (\(\pi r^{2}\)) de chaque côté de l’équation :
\[ h_{\text{cyl}} = \frac{1}{3} h_{\text{cône}} \]
Calcul de la hauteur du cylindre :
Remplaçons \(h_{\text{cône}} = 8\) cm :
\[ h_{\text{cyl}} = \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3} \approx 2,67 \, \text{cm} \]
Donc, la hauteur du cylindre est exactement :
\[ h_{\text{cyl}} = \frac{8}{3} \, \text{cm} \]
Ou arrondie à deux décimales :
\[ h_{\text{cyl}} \approx 2,67 \, \text{cm} \]