Question : Un vase est constitué d’un cylindre de hauteur 20 cm auquel deux demi-sphères de rayon 4 cm sont fixées à ses extrémités.
a. Reportez sur la figure les dimensions indiquées dans l’énoncé, exprimées en centimètres.
b. Calculez le volume total exact du vase, puis son volume arrondi à l’unité.
\(\qquad\)
Le vase se compose d’un cylindre de 20 cm de hauteur et de 4 cm de rayon, surmonté et surmonté de deux demi-sphères de 4 cm de rayon.
Le volume exact est (1216π)/3 cm³, soit environ 1273 cm³ arrondi.
Nous allons résoudre la question en deux parties.
────────────────────────────── a. Représentation du vase
Le vase est composé de deux parties : 1. Un cylindre dont la hauteur est donnée par 20 cm. 2. Deux demi-sphères fixées aux extrémités du cylindre. Chaque demi-sphère a un rayon de 4 cm.
Pour reporter les dimensions sur la figure, vous devez donc indiquer
: • Sur le cylindre, la hauteur : 20 cm. • L’extrémité inférieure et
l’extrémité supérieure comportent chacune une demi-sphère de rayon 4
cm.
• Le rayon du cylindre est également de 4 cm (puisqu’il correspond au
rayon des demi-sphères).
────────────────────────────── b. Calcul du volume total du vase
Le vase est constitué d’un cylindre et de deux demi-sphères. Le volume total sera la somme du volume du cylindre et du volume des deux demi-sphères.
Le volume d’un cylindre est donné par la formule :
V_cylindre = π × r² × h
où r est le rayon et h la hauteur.
Ici, r = 4 cm et h = 20 cm.
On calcule :
r² = 4² = 16
V_cylindre = π × 16 × 20 = 320π (cm³)
Le volume d’une sphère totale est :
V_sphère = (4/3) × π × r³
Pour une sphère de rayon 4 cm, on a :
r³ = 4³ = 64
V_sphère = (4/3) × π × 64 = (256π)/3 (cm³)
Les deux demi-sphères forment ensemble une sphère complète. Ainsi, le
volume total des deux demi-sphères est :
V_demisphere_total = (256π)/3 (cm³)
Il suffit d’additionner le volume du cylindre et celui des deux
demi-sphères :
V_total = V_cylindre + V_demisphere_total
V_total = 320π + (256π)/3
Pour additionner ces deux termes, mettons-les sur le même
dénominateur : 320π = (320π × 3)/3 = (960π)/3
Donc, V_total = (960π + 256π)/3 = (1216π)/3 (cm³)
Ce résultat est le volume exact du vase.
Pour obtenir une valeur arrondie, nous allons calculer une valeur approchée en multipliant par la valeur approchée de π (environ 3,1416) :
V_total ≈ (1216 × 3,1416) / 3
D’abord, calculons 1216 ÷ 3 :
1216 ÷ 3 ≈ 405,33
Puis, multiplions par 3,1416 :
405,33 × 3,1416 ≈ 1273,23
Arrondi à l’unité, le volume est donc environ 1273 cm³.
────────────────────────────── Récapitulatif de la réponse :
Les dimensions à reporter sont :
– Le cylindre a une hauteur de 20 cm et un rayon de 4 cm.
– Chaque extrémité du cylindre porte une demi-sphère de rayon 4
cm.
Le volume total exact du vase est
V_total = (1216π)/3 cm³
et le volume arrondi à l’unité est d’environ 1273 cm³.