Exercice 16

Question : Rangez dans l’ordre décroissant les volumes des solides suivants :

• un cône de hauteur \(25\,\text{cm}\) et de rayon \(15\,\text{cm}\) ;
• un prisme droit de hauteur \(3\,\text{dm}\), de largeur \(25\,\text{cm}\) et de longueur \(40\,\text{cm}\) ;
• une sphère de rayon \(18\,\text{cm}\) ;
• un cylindre de hauteur \(28\,\text{cm}\) et de rayon \(22\,\text{cm}\).

Réponse

Les volumes des solides, du plus grand au plus petit, sont : 1. Cylindre 2. Prisme droit 3. Sphère 4. Cône

Corrigé détaillé

Pour ranger les volumes des différents solides dans l’ordre décroissant, nous allons calculer le volume de chacun d’eux à l’aide des formules appropriées. Voici les étapes détaillées :

1. Calcul du volume de chaque solide

a) Volume d’un cône

La formule du volume \(V\) d’un cône est : \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] où : - \(r = 15\,\text{cm}\) est le rayon de la base, - \(h = 25\,\text{cm}\) est la hauteur.

Calculons donc : \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times (15)^2 \times 25 \] \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 225 \times 25 \] \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 5625 \] \[ V_{\text{cône}} = 1875\,\pi\,\text{cm}^3 \]

b) Volume d’un prisme droit

La formule du volume \(V\) d’un prisme droit est : \[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \] où : - La hauteur \(h = 3\,\text{dm} = 30\,\text{cm}\) (conversion de décimètres en centimètres), - La largeur \(l = 25\,\text{cm}\), - La longueur \(L = 40\,\text{cm}\).

Calculons : \[ V_{\text{prisme}} = 40 \times 25 \times 30 \] \[ V_{\text{prisme}} = 1000 \times 30 \] \[ V_{\text{prisme}} = 30\,000\,\text{cm}^3 \]

c) Volume d’une sphère

La formule du volume \(V\) d’une sphère est : \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] où : - \(r = 18\,\text{cm}\).

Calculons : \[ V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \times \pi \times (18)^3 \] \[ V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 5832 \] \[ V_{\text{sphère}} = 4 \times 1944\,\pi \] \[ V_{\text{sphère}} = 7776\,\pi\,\text{cm}^3 \]

d) Volume d’un cylindre

La formule du volume \(V\) d’un cylindre est : \[ V = \pi r^2 h \] où : - \(r = 22\,\text{cm}\), - \(h = 28\,\text{cm}\).

Calculons : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times (22)^2 \times 28 \] \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 484 \times 28 \] \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 13552 \] \[ V_{\text{cylindre}} = 13\,552\,\pi\,\text{cm}^3 \]

2. Comparaison des volumes

Pour comparer les volumes, exprimons-les tous en termes de \(\pi\) ou en valeurs numériques approximatives (en prenant \(\pi \approx 3,14\)) :

• Cône : \(1875\,\pi \approx 1875 \times 3,14 = 5\,887,5\,\text{cm}^3\)
• Prisme droit : \(30\,000\,\text{cm}^3\)
• Sphère : \(7776\,\pi \approx 7776 \times 3,14 = 24\,417,84\,\text{cm}^3\)
• Cylindre : \(13\,552\,\pi \approx 13\,552 \times 3,14 = 42\,532,28\,\text{cm}^3\)

Ainsi, les volumes en ordre décroissant sont :

1. Cylindre : \(42\,532,28\,\text{cm}^3\)
2. Prisme droit : \(30\,000\,\text{cm}^3\)
3. Sphère : \(24\,417,84\,\text{cm}^3\)
4. Cône : \(5\,887,5\,\text{cm}^3\)

3. Conclusion

En ordonnant les volumes du plus grand au plus petit :

1. Cylindre
2. Prisme droit
3. Sphère
4. Cône