Question :
Une petite sphère a un rayon \(r\). Une
grande sphère a un rayon \(R = 4\,r\).
Soient \(v\) le volume de la petite
sphère et \(\mathcal{Q}\) le volume de
la grande sphère. Exprime \(\mathcal{Q}\) en fonction de \(v\).
Le volume de la grande sphère est \(\mathcal{Q} = 64\,v\).
Énoncé :
Une petite sphère a un rayon \(r\). Une grande sphère a un rayon \(R = 4\,r\). Soient \(v\) le volume de la petite sphère et \(\mathcal{Q}\) le volume de la grande sphère. Exprime \(\mathcal{Q}\) en fonction de \(v\).
Étape 1 : Rappel de la formule du volume d’une sphère
Le volume \(V\) d’une sphère de rayon \(r\) est donné par la formule :
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Étape 2 : Calcul du volume de la petite sphère
La petite sphère a un rayon \(r\). Son volume \(v\) est donc :
\[ v = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Étape 3 : Calcul du volume de la grande sphère
La grande sphère a un rayon \(R = 4\,r\). Son volume \(\mathcal{Q}\) est :
\[ \mathcal{Q} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (4r)^3 \]
Développons \((4r)^3\) :
\[ (4r)^3 = 4^3 \times r^3 = 64\,r^3 \]
Donc,
\[ \mathcal{Q} = \frac{4}{3} \pi \times 64\,r^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 64\,v \]
Étape 4 : Conclusion
Le volume de la grande sphère \(\mathcal{Q}\) est 64 fois le volume de la petite sphère \(v\). Ainsi,
\[ \mathcal{Q} = 64\,v \]