Question : On coupe une pyramide à un tiers de sa hauteur par un plan parallèle à la base.
Exprimez le volume \(\vartheta^{\prime}\) de la petite pyramide en fonction du volume \(\mathcal{V}\) de la pyramide de départ.
Montrez que le volume \(\vartheta^{\prime \prime}\) du tronc de pyramide obtenu est égal à \(\frac{26}{27}\) du volume \(\mathcal{V}\) de la pyramide de départ.
La petite pyramide a un volume de 𝒱/27 et le tronc de pyramide un volume de 26𝒱/27.
Soit une pyramide de volume 𝒱 et de hauteur H. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base, à un tiers de sa hauteur mesurée à partir du sommet. Autrement dit, le plan coupe la pyramide à la hauteur H/3 du sommet.
────────────────────────────── 1. Détermination du volume de la petite pyramide (𝜗′) :
Lorsque l’on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la pyramide découpée (celle située entre le sommet et le plan) est semblable à la pyramide de départ. Le rapport de similitude entre les deux pyramides est égal au rapport de leurs hauteurs.
I. Calcul du rapport de similitude :
La hauteur de la petite pyramide est H/3 et la hauteur de la pyramide
entière est H. Donc, le facteur de réduction est :
r = (H/3) / H = 1/3
Pour deux solides semblables, le rapport de leurs volumes est égal au cube du rapport de similitude. Ainsi, le volume 𝜗′ de la petite pyramide est : 𝜗′ = (r)³ × 𝒱 = (1/3)³ × 𝒱 = 1/27 × 𝒱
Donc, nous obtenons : 𝜗′ = 𝒱/27
────────────────────────────── 2. Détermination du volume du tronc de pyramide (𝜗″) :
Le tronc de pyramide est obtenu après avoir retiré de la pyramide entière la petite pyramide située au sommet.
I. Calcul :
Le volume du tronc est la différence entre le volume total de la pyramide et le volume de la petite pyramide : 𝜗″ = 𝒱 − 𝜗′
Or, d’après le résultat précédent, 𝜗′ = 𝒱/27. On a donc : 𝜗″ = 𝒱 − 𝒱/27
Pour mettre sur le même dénominateur, on écrit : 𝜗″ = (27𝒱/27) − (𝒱/27) = (27𝒱 − 𝒱)/27 = 26𝒱/27
────────────────────────────── Conclusion :
Le volume de la petite pyramide est :
𝜗′ = 𝒱/27
Le volume du tronc de pyramide est :
𝜗″ = 26𝒱/27
Ces résultats montrent que la petite pyramide occupe 1/27 du volume de la pyramide de départ et que le tronc de pyramide représente les 26/27 restants.