Un corps est constitué d’un cylindre surmonté d’un cône. La hauteur du cylindre et celle du cône sont égales au rayon \(r\) du cylindre.
Calculer en fonction de \(r\) :
Résumé des réponses :
Nous allons résoudre chaque question étape par étape en utilisant les formules géométriques appropriées.
Le corps est constitué d’un cylindre surmonté d’un cône. Nous calculerons donc le volume de chaque partie séparément et les additionner.
La formule du volume \(V_{\text{cylindre}}\) d’un cylindre est : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h \] où \(r\) est le rayon de la base et \(h\) est la hauteur. Ici, la hauteur du cylindre est égale au rayon \(r\), donc : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 \times r = \pi r^3 \]
La formule du volume \(V_{\text{cône}}\) d’un cône est : \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] où \(r\) est le rayon de la base et \(h\) est la hauteur. Ici, la hauteur du cône est également \(r\), donc : \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \times r = \frac{1}{3} \pi r^3 \]
En additionnant les deux volumes : \[ V_{\text{total}} = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{cône}} = \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
L’aire totale \(A_{\text{total}}\) du corps est la somme de l’aire latérale du cylindre, de l’aire latérale du cône et des deux bases du cylindre.
La formule de l’aire latérale \(A_{\text{cylindre}}\) d’un cylindre est : \[ A_{\text{cylindre}} = 2 \pi r h \] Avec \(h = r\) : \[ A_{\text{cylindre}} = 2 \pi r \times r = 2 \pi r^2 \]
La formule de l’aire latérale \(A_{\text{cône}}\) d’un cône est : \[ A_{\text{cône}} = \pi r l \] où \(l\) est la génératrice du cône. Pour trouver \(l\), utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le rayon, la hauteur et la génératrice : \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2} r \] Donc : \[ A_{\text{cône}} = \pi r \times \sqrt{2} r = \pi \sqrt{2} r^2 \]
Le cylindre possède deux bases circulaires. L’aire d’une base \(A_{\text{base}}\) est : \[ A_{\text{base}} = \pi r^2 \] Donc, pour deux bases : \[ A_{\text{bases}} = 2 \pi r^2 \]
En additionnant toutes les aires : \[ A_{\text{total}} = A_{\text{cylindre}} + A_{\text{cône}} + A_{\text{bases}} = 2 \pi r^2 + \pi \sqrt{2} r^2 + 2 \pi r^2 = (4 + \sqrt{2}) \pi r^2 \]
Le volume \(V_{\text{sphere}}\) d’une sphère de rayon \(r\) est : \[ V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Nous avons déjà calculé le volume du corps : \[ V_{\text{total}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Ainsi, la différence de volume : \[ \Delta V = V_{\text{total}} - V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = 0 \] Résultat : Il n’y a aucune différence de volume entre le corps composé du cylindre et du cône et une sphère de rayon \(r\).
L’aire \(A_{\text{sphere}}\) d’une sphère de rayon \(r\) est : \[ A_{\text{sphere}} = 4 \pi r^2 \] Nous avons calculé l’aire totale du corps : \[ A_{\text{total}} = (4 + \sqrt{2}) \pi r^2 \] Ainsi, la différence d’aire : \[ \Delta A = A_{\text{total}} - A_{\text{sphere}} = (4 + \sqrt{2}) \pi r^2 - 4 \pi r^2 = \sqrt{2} \pi r^2 \] Résultat : La différence d’aire entre le corps et la sphère est \(\sqrt{2} \pi r^2\).
Résumé des réponses :