Calculer le volume et l’aire totale d’un cône dont le rayon mesure \(3\ \text{cm}\) et la hauteur \(4\ \text{cm}\).
Le cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm a un volume de \(12\pi\) cm³ et une aire totale de \(24\pi\) cm².
Pour calculer le volume et l’aire totale d’un cône dont le rayon \(r = 3\ \text{cm}\) et la hauteur \(h = 4\ \text{cm}\), nous allons suivre les étapes suivantes.
La formule du volume \(V\) d’un cône est donnée par :
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Étapes de calcul :
Calculer le rayon au carré :
\[ r^2 = 3^2 = 9\ \text{cm}^2 \]
Multiplier par la hauteur :
\[ 9\ \text{cm}^2 \times 4\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^3 \]
Appliquer la formule du volume :
\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 36\ \text{cm}^3 = 12\pi\ \text{cm}^3 \]
Ainsi, le volume du cône est :
\[ V = 12\pi\ \text{cm}^3 \]
L’aire totale \(S\) d’un cône est la somme de l’aire de la base et de l’aire latérale. La formule est :
\[ S = \pi r (r + l) \]
où \(l\) est la génératrice (ou hauteur oblique) du cône.
Pour trouver \(l\), nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le rayon, la hauteur et la génératrice du cône :
\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]
Calcul :
\[ l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm} \]
Additionner le rayon et la génératrice :
\[ r + l = 3\ \text{cm} + 5\ \text{cm} = 8\ \text{cm} \]
Multiplier par le rayon et par \(\pi\) :
\[ S = \pi \times 3\ \text{cm} \times 8\ \text{cm} = 24\pi\ \text{cm}^2 \]
Ainsi, l’aire totale du cône est :
\[ S = 24\pi\ \text{cm}^2 \]
Ces résultats utilisent \(\pi\) comme constante mathématique, environ égal à \(3,14\). Si nécessaire, vous pouvez substituer \(\pi\) par sa valeur numérique pour obtenir une approximation décimale.