Exercice 9

Exercice 9.4

Une pyramide à base rectangulaire a un volume de \(800\ \mathrm{cm}^{3}\). Les dimensions de la base sont de 6 cm et 8 cm. Calculez l’aire totale de cette pyramide, sachant que le pied de la hauteur coïncide avec le centre de la base.

Réponse

L’aire totale de la pyramide est de 749,68 cm².

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 9.4

Nous devons calculer l’aire totale d’une pyramide à base rectangulaire dont le volume est de \(800\ \mathrm{cm}^{3}\) et dont les dimensions de la base sont de \(6\,\mathrm{cm}\) et \(8\,\mathrm{cm}\). De plus, le pied de la hauteur coïncide avec le centre de la base.

Étape 1 : Calcul de la hauteur de la pyramide

La formule du volume \(V\) d’une pyramide est donnée par : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \] Nous connaissons le volume et les dimensions de la base, calculons donc la hauteur \(h\).

1. Calcul de l’aire de la base : \[ \text{Aire de la base} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} = 6\,\mathrm{cm} \times 8\,\mathrm{cm} = 48\,\mathrm{cm}^{2} \]

2. Application de la formule du volume : \[ 800\,\mathrm{cm}^{3} = \frac{1}{3} \times 48\,\mathrm{cm}^{2} \times h \] \[ 800 = 16 \times h \quad (\text{car } \frac{1}{3} \times 48 = 16) \] \[ h = \frac{800}{16} = 50\,\mathrm{cm} \]

Étape 2 : Calcul des hauteurs obliques (apothem) des faces latérales

La pyramide a quatre faces latérales : deux dont la base est de \(6\,\mathrm{cm}\) et deux dont la base est de \(8\,\mathrm{cm}\). Pour chaque type de face, nous devons calculer la hauteur oblique (appelée apothem) à l’aide du théorème de Pythagore.

1. Pour les faces dont la base est de \(6\,\mathrm{cm}\) :
   • La moitié de la largeur de la base est \(\frac{8}{2} = 4\,\mathrm{cm}\).
   • L’apothème \(l_1\) est donc : \[ l_1 = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{8}{2}\right)^{2}} = \sqrt{50^{2} + 4^{2}} = \sqrt{2500 + 16} = \sqrt{2516} \approx 50,16\,\mathrm{cm} \]
2. Pour les faces dont la base est de \(8\,\mathrm{cm}\) :
   • La moitié de la longueur de la base est \(\frac{6}{2} = 3\,\mathrm{cm}\).
   • L’apothème \(l_2\) est donc : \[ l_2 = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{6}{2}\right)^{2}} = \sqrt{50^{2} + 3^{2}} = \sqrt{2500 + 9} = \sqrt{2509} \approx 50,09\,\mathrm{cm} \]

Étape 3 : Calcul de l’aire des faces latérales

1. Aire des deux faces avec une base de \(6\,\mathrm{cm}\) : \[ \text{Aire}_{6} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 6\,\mathrm{cm} \times l_1 \right) = 2 \times \left( 3 \times 50,16 \right) = 2 \times 150,48 = 300,96\,\mathrm{cm}^{2} \]

2. Aire des deux faces avec une base de \(8\,\mathrm{cm}\) : \[ \text{Aire}_{8} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 8\,\mathrm{cm} \times l_2 \right) = 2 \times \left( 4 \times 50,09 \right) = 2 \times 200,36 = 400,72\,\mathrm{cm}^{2} \]

Étape 4 : Calcul de l’aire totale de la pyramide

L’aire totale \(A_{\text{totale}}\) est la somme de l’aire de la base et des aires des faces latérales. \[ A_{\text{totale}} = \text{Aire de la base} + \text{Aire}_{6} + \text{Aire}_{8} \] \[ A_{\text{totale}} = 48\,\mathrm{cm}^{2} + 300,96\,\mathrm{cm}^{2} + 400,72\,\mathrm{cm}^{2} = 749,68\,\mathrm{cm}^{2} \]

Réponse finale : \[ \boxed{749,68\,\mathrm{cm}^{2}} \]