Exercice 4

Le volume d’une sphère se calcule avec la formule

\[ V = \frac{4 \pi r^{3}}{3} \]

Trouver la formule exprimant \(r\).

Définitions :

On a les proportions suivantes :

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{L}{2 \pi r} \]

\[ \frac{\alpha}{360} = \frac{A}{\pi r^{2}} \]

  1. Trouver la formule exprimant \(L\).
  2. Trouver la formule exprimant \(r\).
  3. Trouver la formule exprimant \(A\).
  4. Trouver la formule exprimant \(\alpha\).
  5. En comparant les deux proportions, écrire une proportion dans laquelle figurent \(A\) et \(L\), c’est-à-dire :
      1. Exprimer \(A\) en fonction de \(L\) et de \(r\).
      1. Exprimer \(L\) en fonction de \(A\) et de \(r\).
      1. Exprimer \(r\) en fonction de \(A\) et de \(L\).
  6. Utiliser ces formules pour résoudre les problèmes suivants :
      1. Soit un cercle de 18 cm de rayon. Calculer la longueur de l’arc de cercle et l’aire du secteur déterminés par un angle au centre de \(30^{\circ}\).
      1. Quel est le rayon du cercle sur lequel un arc de 15,7 cm est intercepté par un angle au centre de \(45^{\circ}\) ?
      1. Calculer l’angle au centre qui intercepte, sur un disque de 12 cm de rayon, un secteur d’aire de 43,96 cm².
      1. Calculer l’aire d’un secteur dont l’arc de cercle mesure 9,42 cm et dont le rayon est de 18 cm.

Réponse

Réponse synthétique :

  1. L = (α·π·r)/180
  2. r = ∛((3V)/(4π))
  3. A = (α·π·r²)/360
  4. α = (180·L)/(π·r)
  5. La relation entre A et L est : A = (L·r)/2, soit L = (2A)/r et r = (2A)/L

Applications numériques :
(a) Pour r = 18 cm et α = 30° : L = 3π cm et A = 27π cm²
(b) Pour L = 15,7 cm et α = 45° : r ≈ 20 cm
(c) Pour A = 43,96 cm² et r = 12 cm : α ≈ 35°
(d) Pour L = 9,42 cm et r = 18 cm : A ≈ 84,78 cm²

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre point par point tous les éléments de l’exercice en détaillant chaque étape.

────────────────────────────── 1) Formule exprimant L (longueur de l’arc)
On part de la proportion :
  (α / 360) = L / (2πr)
Pour isoler L, multiplions les deux côtés par 2πr :
  L = (α / 360) × 2πr
On peut aussi écrire :
  L = (α·2πr) / 360
Puis, en simplifiant (2/360 = 1/180) :
  L = (α·πr) / 180

────────────────────────────── 2) Formule exprimant r (rayon de la sphère en fonction du volume V)
On rappelle la formule du volume d’une sphère :
  V = (4πr³) / 3
Pour trouver r, nous isolons r³ en multipliant par 3 et en divisant par 4π :
  r³ = (3V) / (4π)
Puis, en extrayant la racine cubique des deux côtés :
  r = ∛((3V) / (4π))

────────────────────────────── 3) Formule exprimant A (aire du secteur)
On part de la deuxième proportion :
  (α / 360) = A / (πr²)
Pour isoler A, multiplions par πr² :
  A = (α / 360) × πr²

────────────────────────────── 4) Formule exprimant α (mesure de l’angle au centre)
On utilise la première proportion :
  (α / 360) = L / (2πr)
Pour isoler α, multiplions par 360 :
  α = 360 × (L / (2πr))
  α = (360L) / (2πr)
On simplifie 360/2 en 180 :
  α = (180L) / (πr)

────────────────────────────── 5) Comparaison des deux proportions pour obtenir une relation entre A et L
Les deux proportions données sont :
  (α / 360) = L / (2πr)  et  (α / 360) = A / (πr²)
Ces égalités impliquent que les deux côtés droits sont égaux entre eux. Ainsi :
  L / (2πr) = A / (πr²)

Pour trouver la relation, multiplions les deux côtés par πr² :
  A = (L / (2πr)) × (πr²)
Simplifions πr² avec πr dans le dénominateur :
  A = L·r / 2

Ainsi, nous obtenons la relation suivante :
  A = (L × r) / 2

À partir de cette relation, on déduit :
(a) A en fonction de L et r :
  A = (L·r) / 2

  1. L en fonction de A et r :
    On écrit
      L = (2A) / r

  2. r en fonction de A et L :
    On écrit
      r = (2A) / L

────────────────────────────── 6) Applications numériques

  1. Pour un cercle (secteur circulaire) de rayon r = 18 cm et un angle au centre de α = 30°

────────────────────────────── (b) Pour un arc de L = 15,7 cm intercepté par un angle au centre de α = 45°
On utilise la formule :
  L = (α·π·r) / 180
Pour trouver r, isolons-le :
  r = (180 × L) / (α·π)
Remplaçons avec les valeurs :
  r = (180 × 15,7) / (45 × π)
Observons que 180 / 45 = 4, donc
  r = (4 × 15,7) / π
  r = 62,8 / π
En effectuant le calcul approximatif (avec π ≈ 3,14) :
  r ≈ 62,8 / 3,14 ≈ 20 cm

────────────────────────────── (c) Pour un secteur d’aire A = 43,96 cm² sur un disque de rayon r = 12 cm, trouver l’angle au centre α
On utilise la formule de l’aire du secteur :
  A = (α·π·r²) / 360
Isolons α :
  α = (A × 360) / (π·r²)
Remplaçons avec les valeurs :
  α = (43,96 × 360) / (π × 12²)
Sachant que 12² = 144, on a :
  α = (43,96 × 360) / (144π)
Remarquons que 360 / 144 = 2,5, donc
  α = (43,96 × 2,5) / π
Calculons le numérateur :
  43,96 × 2,5 = 109,9
Ainsi :
  α = 109,9 / π
En effectuant le calcul approché (π ≈ 3,14) :
  α ≈ 109,9 / 3,14 ≈ 35°

────────────────────────────── (d) Pour un secteur où la longueur de l’arc est L = 9,42 cm et le rayon r = 18 cm, calculer l’aire du secteur A
Nous avons trouvé en (5) la relation reliant A et L :
  A = (L × r) / 2
Remplaçons avec les valeurs :
  A = (9,42 × 18) / 2
Calculons 9,42 × 18 :
  9,42 × 18 = 169,56
Puis,
  A = 169,56 / 2 = 84,78 cm²

────────────────────────────── Conclusion

  1. L = (α·π·r) / 180
  2. r = ∛((3V) / (4π))  (si on considère le volume de la sphère)
  3. A = (α·π·r²) / 360
  4. α = (180·L) / (π·r)
  5. La relation entre A et L est :
      A = (L·r)/2  et donc L = (2A)/r  et r = (2A)/L
  6. Les applications numériques donnent :
      (a) Pour r = 18 cm et α = 30°, L = 3π cm et A = 27π cm²
      (b) Pour L = 15,7 cm et α = 45°, r ≈ 20 cm
      (c) Pour A = 43,96 cm² et r = 12 cm, α ≈ 35°
      (d) Pour L = 9,42 cm et r = 18 cm, A ≈ 84,78 cm²

Chaque étape a été détaillée pour que la logique soit claire et accessible.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer