Un jardin a la forme d’un pentagone régulier dont chaque côté mesure 3 km. Lucie part d’un sommet du pentagone et marche le long des côtés sur une distance totale de 7 km.
Quelle est la longueur du trajet le plus court qui la sépare de son point de départ ?
La longueur du trajet le plus court qui sépare Lucie de son point de départ est d’environ 5,25 km.
Nous allons résoudre ce problème étape par étape en utilisant les propriétés d’un pentagone régulier et des notions de géométrie.
Un jardin a la forme d’un pentagone régulier dont chaque côté mesure 3 km. Lucie part d’un sommet du pentagone et marche le long des côtés sur une distance totale de 7 km.
Question :
Quelle est la longueur du trajet le plus court qui la sépare de son
point de départ ?
Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés égaux et cinq angles intérieurs égaux. Chaque angle intérieur d’un pentagone régulier mesure :
\[ \text{Angle intérieur} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = 108^\circ \]
où \(n = 5\) est le nombre de côtés.
Lucie commence à un sommet du pentagone et marche sur une distance totale de 7 km. Chaque côté du pentagone mesure 3 km. Calculons combien de côtés elle parcourt entièrement et quelle portion du prochain côté elle traverse.
\[ \text{Nombre de côtés entiers} = \frac{7 \text{ km}}{3 \text{ km/côté}} = 2 \text{ côtés complets} \text{ et } 1 \text{ km sur le troisième côté} \]
Ainsi, Lucie parcourt :
Pour faciliter les calculs, plaçons le pentagone dans un système de coordonnées.
Ensuite, calculons les coordonnées des points suivants en utilisant les angles et les longueurs des côtés.
La distance la plus courte entre deux points dans un plan est la distance en ligne droite. Utilisons la formule de la distance entre deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) :
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Appliquons cela à \(A(0, 0)\) et \(F(x_F, y_F)\) :
\[ d = \sqrt{(x_F - 0)^2 + (y_F - 0)^2} = \sqrt{x_F^2 + y_F^2} \]
En substituant les valeurs calculées précédemment pour \(x_F\) et \(y_F\), nous obtenons la distance.
Pour simplifier, utilisons des approximations des valeurs trigonométriques :
\[ \cos(72^\circ) \approx 0,3090 \quad \text{et} \quad \sin(72^\circ) \approx 0,9511 \] \[ \cos(108^\circ) \approx -0,3090 \quad \text{et} \quad \sin(108^\circ) \approx 0,9511 \]
\[ x_C = 3 + 3 \times 0,3090 = 3 + 0,927 = 3,927 \text{ km} \] \[ y_C = 0 + 3 \times 0,9511 = 2,8533 \text{ km} \]
\[ x_F = 3,927 + (-0,3090) = 3,618 \text{ km} \] \[ y_F = 2,8533 + 0,9511 = 3,8044 \text{ km} \]
\[ d = \sqrt{(3,618)^2 + (3,8044)^2} \approx \sqrt{13,09 + 14,46} = \sqrt{27,55} \approx 5,25 \text{ km} \]
La longueur du trajet le plus court qui sépare Lucie de son point de départ est d’environ 5,25 km.
En suivant ces étapes, nous avons déterminé la distance minimale entre le point de départ de Lucie et sa position finale après avoir marché 7 km le long des côtés d’un pentagone régulier. Cette approche utilise des notions de géométrie et de trigonométrie adaptées au niveau collège.