Question : Calcule les distances réelles, à vol d’oiseau, entre les chefs-lieux des cantons suivants :
Résumé des distances à vol d’oiseau :
Ces distances sont calculées à partir des coordonnées géographiques des villes.
Correction détaillée des exercices sur les distances à vol d’oiseau
Pour calculer les distances réelles à vol d’oiseau entre deux villes, nous utiliserons la formule de distance basée sur les coordonnées géographiques (latitude et longitude) des villes. Cette méthode permet de déterminer la distance la plus courte entre deux points sur la surface de la Terre.
La formule de la distance entre deux points \(A (\phi_1, \lambda_1)\) et \(B (\phi_2, \lambda_2)\) est donnée par :
\[ d = R \times \arccos\left( \sin(\phi_1) \times \sin(\phi_2) + \cos(\phi_1) \times \cos(\phi_2) \times \cos(\Delta\lambda) \right) \]
où : - \(d\) est la distance entre les deux points. - \(R\) est le rayon de la Terre (\(\approx 6\,371\) km). - \(\phi_1\) et \(\phi_2\) sont les latitudes des points \(A\) et \(B\) en radians. - \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont les longitudes des points \(A\) et \(B\) en radians. - \(\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1\).
Étapes de calcul : 1. Convertir les latitudes et longitudes de degrés en radians. 2. Appliquer la formule de distance. 3. Calculer le résultat pour obtenir la distance en kilomètres.
Pour simplifier, nous utiliserons les distances approximatives obtenues à partir des coordonnées géographiques des villes.
Coordonnées : - Zurich : Latitude \(47.3769° N\), Longitude \(8.5417° E\) - Lucerne : Latitude \(47.0502° N\), Longitude \(8.3093° E\)
Calcul : 1. Conversion en radians : \[ \phi_{\text{Zurich}} = 47.3769° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8267 \, \text{rad} \] \[ \phi_{\text{Lucerne}} = 47.0502° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8216 \, \text{rad} \] \[ \Delta\lambda = (8.3093 - 8.5417)° \times \frac{\pi}{180} \approx -0.0041 \, \text{rad} \]
Application de la formule : \[ d = 6371 \times \arccos\left( \sin(0.8267) \times \sin(0.8216) + \cos(0.8267) \times \cos(0.8216) \times \cos(-0.0041) \right) \]
Calcul numérique : Après calcul, la distance est d’environ 52 kilomètres.
Coordonnées : - Aarau : Latitude \(47.3926° N\), Longitude \(8.0463° E\) - Senne-Gall : Latitude \(47.4239° N\), Longitude \(9.3767° E\)
Calcul : 1. Conversion en radians : \[ \phi_{\text{Aarau}} = 47.3926° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8263 \, \text{rad} \] \[ \phi_{\text{Senne-Gall}} = 47.4239° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8274 \, \text{rad} \] \[ \Delta\lambda = (9.3767 - 8.0463)° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0225 \, \text{rad} \]
Application de la formule : \[ d = 6371 \times \arccos\left( \sin(0.8263) \times \sin(0.8274) + \cos(0.8263) \times \cos(0.8274) \times \cos(0.0225) \right) \]
Calcul numérique : La distance est d’environ 90 kilomètres.
Coordonnées : - Fribourg : Latitude \(46.8065° N\), Longitude \(7.1618° E\) - Sion : Latitude \(46.2312° N\), Longitude \(7.3606° E\)
Calcul : 1. Conversion en radians : \[ \phi_{\text{Fribourg}} = 46.8065° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8170 \, \text{rad} \] \[ \phi_{\text{Sion}} = 46.2312° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8054 \, \text{rad} \] \[ \Delta\lambda = (7.3606 - 7.1618)° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0033 \, \text{rad} \]
Application de la formule : \[ d = 6371 \times \arccos\left( \sin(0.8170) \times \sin(0.8054) + \cos(0.8170) \times \cos(0.8054) \times \cos(0.0033) \right) \]
Calcul numérique : La distance est d’environ 85 kilomètres.
Coordonnées : - Neuchâtel : Latitude \(46.9911° N\), Longitude \(6.9319° E\) - Coire (Chur) : Latitude \(46.8503° N\), Longitude \(9.5327° E\)
Calcul : 1. Conversion en radians : \[ \phi_{\text{Neuchâtel}} = 46.9911° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8197 \, \text{rad} \] \[ \phi_{\text{Coire}} = 46.8503° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8177 \, \text{rad} \] \[ \Delta\lambda = (9.5327 - 6.9319)° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0460 \, \text{rad} \]
Application de la formule : \[ d = 6371 \times \arccos\left( \sin(0.8197) \times \sin(0.8177) + \cos(0.8197) \times \cos(0.8177) \times \cos(0.0460) \right) \]
Calcul numérique : La distance est d’environ 240 kilomètres.
Coordonnées : - Lausanne : Latitude \(46.5197° N\), Longitude \(6.6323° E\) - Zoug : Latitude \(47.1742° N\), Longitude \(8.5252° E\)
Calcul : 1. Conversion en radians : \[ \phi_{\text{Lausanne}} = 46.5197° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8110 \, \text{rad} \] \[ \phi_{\text{Zoug}} = 47.1742° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8231 \, \text{rad} \] \[ \Delta\lambda = (8.5252 - 6.6323)° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0325 \, \text{rad} \]
Application de la formule : \[ d = 6371 \times \arccos\left( \sin(0.8110) \times \sin(0.8231) + \cos(0.8110) \times \cos(0.8231) \times \cos(0.0325) \right) \]
Calcul numérique : La distance est d’environ 140 kilomètres.
Résumé des distances :
Ces calculs sont basés sur les coordonnées géographiques des villes et fournissent une approximation des distances réelles à vol d’oiseau entre elles.