Exercice 16

Question : Un ouvrier installe une échelle contre un mur d’un bâtiment. Le sommet de l’échelle se trouve à \(12{,}5 \, \mathrm{m}\) du sol et la base de l’échelle est placée à \(4 \, \mathrm{m}\) du mur.

1. Dessine cette situation à l’échelle 1:100.

2. Calcule l’angle que forme l’échelle avec le sol.

Réponse

L’angle que forme l’échelle avec le sol est d’environ 72°.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Partie b) Calcul de l’angle que forme l’échelle avec le sol

Pour déterminer l’angle que forme l’échelle avec le sol, nous allons utiliser les notions de trigonométrie, plus précisément la fonction tangente dans un triangle rectangle.

Étape 1 : Identifier le triangle rectangle

Dans cette situation, nous avons un triangle rectangle formé par :

• Le mur : qui représente la hauteur verticale (\(12{,}5 \, \mathrm{m}\)).
• Le sol : qui représente la distance horizontale entre la base de l’échelle et le mur (\(4 \, \mathrm{m}\)).
• L’échelle : qui constitue l’hypoténuse du triangle.

Étape 2 : Utiliser la fonction tangente

La tangente d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur du côté adjacent à l’angle.

Soit \(\theta\) l’angle que forme l’échelle avec le sol.

Nous avons : \[ \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{12{,}5}{4} \]

Étape 3 : Calculer le rapport

Calculons le rapport : \[ \tan(\theta) = \frac{12{,}5}{4} = 3{,}125 \]

Étape 4 : Déterminer l’angle à l’aide de la fonction arctangente

Pour trouver l’angle \(\theta\), nous utilisons la fonction arctangente (notée \(\arctan\)) qui est l’inverse de la fonction tangente : \[ \theta = \arctan(3{,}125) \]

Étape 5 : Calculer l’angle

En utilisant une calculatrice scientifique, nous trouvons : \[ \theta \approx 72{,}1^\circ \]

Conclusion

L’angle que forme l’échelle avec le sol est d’environ 72°.

Résumé des Calculs

1. Identification des côtés du triangle : \[ \text{Opposé} = 12{,}5 \, \mathrm{m}, \quad \text{Adjacent} = 4 \, \mathrm{m} \]
2. Application de la tangente : \[ \tan(\theta) = \frac{12{,}5}{4} = 3{,}125 \]
3. Calcul de l’angle : \[ \theta = \arctan(3{,}125) \approx 72{,}1^\circ \]

Ainsi, l’échelle forme un angle d’environ 72° avec le sol.