Exercice 13

Question : Un bateau (B), situé à 1500 m d’un phare (F), souhaite s’approcher pour éviter les rochers.

a. Pour 2 m au-dessus du niveau de la mer, il y a environ 6 m en dessous. Calcule la hauteur de la partie immergée du phare puis sa hauteur totale.

b. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{F B Q}\) de navigation du bateau arrondie au degré.

Réponse

Résumé de la correction :

1. La partie immergée du phare mesure 6 m et la hauteur totale du phare est de 8 m.

2. L’angle \(\widehat{FBQ}\) est d’environ 0 degré.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre les deux parties de la question étape par étape.

Question a

Énoncé :
Pour 2 m au-dessus du niveau de la mer, il y a environ 6 m en dessous. Calcule la hauteur de la partie immergée du phare puis sa hauteur totale.

Solution :

1. Compréhension du problème :
   Nous savons que pour chaque 2 mètres au-dessus du niveau de la mer, il y a 6 mètres en dessous. Cela signifie qu’il y a un rapport entre la partie émergée et la partie immergée du phare.

2. Définition des variables :

   • Soit \(h_{\text{émergée}}\) la hauteur de la partie émergée du phare.
   • Soit \(h_{\text{immergée}}\) la hauteur de la partie immergée du phare.

   D’après l’énoncé, nous avons : \[ \frac{h_{\text{émergée}}}{h_{\text{immergée}}} = \frac{2}{6} \]

3. Calcul de la partie immergée :
   Simplifions le rapport : \[ \frac{h_{\text{émergée}}}{h_{\text{immergée}}} = \frac{1}{3} \] Cela implique que : \[ h_{\text{immergée}} = 3 \times h_{\text{émergée}} \]

4. Calcul de la hauteur totale :
   La hauteur totale du phare \(h_{\text{total}}\) est la somme de la partie émergée et de la partie immergée : \[ h_{\text{total}} = h_{\text{émergée}} + h_{\text{immergée}} = h_{\text{émergée}} + 3 \times h_{\text{émergée}} = 4 \times h_{\text{émergée}} \] Selon l’énoncé, la partie émergée est de 2 m : \[ h_{\text{total}} = 4 \times 2\ \text{m} = 8\ \text{m} \]

5. Réponse :

   • Hauteur de la partie immergée du phare :
     \[ h_{\text{immergée}} = 3 \times 2\ \text{m} = 6\ \text{m} \]
   • Hauteur totale du phare :
     \[ h_{\text{total}} = 8\ \text{m} \]

Question b

Énoncé :
Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{FBQ}\) de navigation du bateau arrondie au degré.

Solution :

1. Compréhension du problème :
   Nous devons déterminer l’angle de navigation du bateau par rapport au phare. Nous avons les informations suivantes :

   • Distance horizontale entre le bateau \(B\) et le phare \(F\) : 1500 m.
   • Hauteur totale du phare \(h_{\text{total}}\) : 8 m (déduite de la question a).

2. Représentation graphique :
   Imaginons un triangle rectangle où :

   • Le sommet \(F\) est la base du phare.
   • Le sommet \(B\) est le bateau.
   • Le sommet \(Q\) est le point où la hauteur du phare rencontre le niveau de la mer.

   Ainsi, \(\widehat{FBQ}\) est l’angle au sommet \(B\).

3. Application des trigonométries :
   Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent. Ici : \[ \tan(\widehat{FBQ}) = \frac{h_{\text{total}}}{\text{distance horizontale}} = \frac{8\ \text{m}}{1500\ \text{m}} \] \[ \tan(\widehat{FBQ}) = \frac{8}{1500} \approx 0,005333 \]

4. Calcul de l’angle :
   Pour trouver l’angle \(\widehat{FBQ}\), nous utilisons la fonction arctangente (ou tangente inverse) : \[ \widehat{FBQ} = \arctan\left(\frac{8}{1500}\right) \] Calculons cette valeur : \[ \widehat{FBQ} \approx \arctan(0,005333) \approx 0,305^\circ \]

5. Arrondissement :
   L’angle arrondi au degré le plus proche est : \[ \widehat{FBQ} \approx 0^\circ \] Toutefois, étant donné que l’angle est très petit (près de 0), on peut l’exprimer avec une précision supplémentaire si nécessaire, par exemple : \[ \widehat{FBQ} \approx 0,3^\circ \]

6. Réponse :
   La mesure de l’angle \(\widehat{FBQ}\) est d’environ 0 degré (arrondi au degré le plus proche).