Exercice 12

Complète les phrases suivantes :

1. ABC est un triangle rectangle […].
2. L’hypoténuse est […].
3. Le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BC}\) est […].
   On en déduit l’égalité \(\cos \widehat{BC} = [...]\).

Réponse

ABC est un triangle rectangle en A, donc l’hypoténuse est le segment [BC] et le côté adjacent à l’angle en B est le segment [BA], ce qui donne cos(∠B) = [BA] / [BC].

Corrigé détaillé

Nous allons compléter chacune des phrases en nous aidant des définitions usuelles pour un triangle rectangle. Ici, il est souvent admis que le triangle ABC est rectangle en A. Cela signifie que l’angle en A mesure 90° et que la face opposée à cet angle est l’hypoténuse.

1. « ABC est un triangle rectangle […] »
   Comme le triangle est rectangle en A, nous complétons la phrase par :
   • ABC est un triangle rectangle en A.

2. « L’hypoténuse est […] »
   L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Dans notre triangle rectangle en A, le côté opposé à A est le segment [BC].
   • L’hypoténuse est le segment [BC].

3. « Le côté adjacent à l’angle 𝛽 (que l’on notera ici avec l’habituel angle au point B) est […] »
   Pour définir le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle, on choisit le côté qui touche cet angle, sans être l’hypoténuse.
   Dans le triangle rectangle en A, considérons l’angle au sommet B (même si dans l’énoncé il est noté 𝛽 sous la forme « 𝑩𝑪 », il s’agit ici de l’angle en B). Les deux côtés qui forment cet angle sont [BA] et [BC]. Or, [BC] est l’hypoténuse. Dès lors, le côté adjacent à l’angle en B est le segment [BA].
   On en déduit, en rappelant que le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est défini par le rapport : (côté adjacent)/(hypoténuse), que
   • cos 𝛽 = cos(∠B) = [BA] / [BC].

Récapitulatif complet :
1. ABC est un triangle rectangle en A.
2. L’hypoténuse est le segment [BC].
3. Le côté adjacent à l’angle au point B est le segment [BA], d’où l’égalité
  cos(∠B) = [BA] / [BC].

Cette démarche repose sur la définition géométrique d’un triangle rectangle et la formule du cosinus pour un angle aigu, qui indique que cosinus d’un angle = (côté adjacent)/(hypoténuse). Cette méthode est très utile pour trouver les rapports entre les côtés dans un triangle rectangle.