Question : Soit \(G\) le pied de la hauteur issue de \(D\) dans le triangle \(DEF\), tel que \(\mathrm{DG} = 7\ \mathrm{cm}\) et \(\widehat{\mathrm{DEF}} = 35^{\circ}\).
Calculez la longueur \(DE\) arrondie au dixième.
Calculez la longueur \(EF\) arrondie au dixième.
On considère le triangle DEF et on note G le pied de la hauteur issue du sommet D sur le côté EF. On vous donne :
• DG = 7 cm
• L’angle ∠DEF = 35°
Pour pouvoir déterminer la longueur de EF, il faut remarquer que l’information « ∠DEF = 35° » permet de relier DE et DG dans le triangle rectangle DEG (qui se trouve en traçant la hauteur depuis D vers EF). Par ailleurs, dans le cas classique de ce type d’exercice, on part de l’hypothèse (souvent implicite dans l’énoncé) que le triangle DEF est tel que la hauteur issue de D coupe EF en son milieu. En d’autres termes, on supposera que le triangle DEF est « isocèle en D » (c’est-à-dire que DE = DF) ce qui entraine que G est aussi le milieu de EF. Nous allons procéder en deux étapes :
────────────────────────────── 1) Calcul de DE
Dans le triangle rectangle DEG (angle droit en G) la droite DE est
l’hypoténuse, et l’angle en E vaut 35° puisque la droite EG (partie de
EF) est dans la même direction que le côté EF. On a donc : sin(35°) =
(opposé)/(hypoténuse) = DG / DE
D’où : DE = DG / sin(35°) = 7 / sin(35°)
Pour obtenir une valeur numérique, on utilise (en arrondissant au
dixième) : sin(35°) ≈ 0,5736
Ainsi, DE ≈ 7 / 0,5736 ≈ 12,2 cm
────────────────────────────── 2) Calcul de EF
Toujours dans le triangle rectangle DEG, on peut déterminer la longueur de GE (la projection de DE sur EF) grâce au cosinus : cos(35°) = GE / DE ⇒ GE = DE × cos(35°)
En remplaçant DE par la valeur trouvée ci-dessus : GE = (7 / sin(35°)) × cos(35°) = 7 × (cos(35°)/ sin(35°)) = 7 cot(35°)
Calculons numériquement : cos(35°) ≈ 0,8192 et cot(35°) =
cos(35°)/sin(35°) ≈ 0,8192 / 0,5736 ≈ 1,4281
Donc, GE ≈ 7 × 1,4281 ≈ 10,0 cm
Si le triangle DEF est tel que DE = DF, alors la hauteur issue de D est aussi la médiatrice du côté EF. Autrement dit, G est le milieu de EF et : EF = 2 × GE = 2 × (7 cot(35°)) = 14 cot(35°)
En valeur approchée : EF ≈ 14 × 1,4281 ≈ 20,0 cm
────────────────────────────── Conclusion
La longueur DE est donnée par : DE = 7 / sin(35°) ≈ 12,2 cm
Sous l’hypothèse que la hauteur issue de D coupe EF en son milieu, la longueur EF est : EF = 14 cot(35°) ≈ 20,0 cm
Ces résultats reposent sur l’utilisation de la définition du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle formé par la hauteur DG, ainsi que sur l’hypothèse usuelle d’un triangle isocèle en D dans ce type d’exercice.