Exercice 9

Question : \(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\), avec \(DE = 8\ \text{cm}\) et \(\widehat{DEF} = 50^\circ\). On souhaite calculer la longueur de \(EF\).

1. Fais un schéma au brouillon et repasse-y, en rouge, le segment dont la longueur est connue et, en vert, celui dont la longueur est recherchée.

   Quelle fonction trigonométrique utiliser ici ?

2. Écris l’égalité correspondante.

3. Calcule \(EF\).

Réponse

La longueur de \(EF\) est d’environ 12,46 cm.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\), avec \(DE = 8\ \text{cm}\) et \(\widehat{DEF} = 50^\circ\). On souhaite calculer la longueur de \(EF\).

---

a. Schéma et fonction trigonométrique à utiliser

Étape 1 : Faire un schéma au brouillon

1. Dessiner le triangle rectangle :
   • Trace un triangle avec un angle droit (\(90^\circ\)) en \(D\).
   • Les côtés du triangle sont \(DE\), \(DF\) et \(EF\).
2. Identifier les côtés connus et recherchés :
   • Segment connu : \(DE = 8\ \text{cm}\) (en rouge).
   • Segment recherché : \(EF\) (en vert).

Justification :

Le schéma permet de visualiser le triangle et de distinguer les éléments donnés et ceux à trouver. En coloriant les segments, on facilite l’identification lors des calculs.

Fonction trigonométrique à utiliser :

On souhaite calculer \(EF\), l’hypoténuse du triangle. L’angle connu est \(\widehat{DEF} = 50^\circ\), et le côté adjacent à cet angle est \(DE = 8\ \text{cm}\).

La fonction trigonométrique appropriée ici est le cosinus, qui relie l’angle, le côté adjacent et l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \]

Ici, \(\theta = 50^\circ\), le côté adjacent est \(DE\), et l’hypoténuse est \(EF\).

---

b. Écriture de l’égalité correspondante

En utilisant la définition du cosinus :

\[ \cos(50^\circ) = \frac{DE}{EF} \]

En remplaçant par les valeurs connues :

\[ \cos(50^\circ) = \frac{8\ \text{cm}}{EF} \]

---

c. Calcul de \(EF\)

Étape 1 : Isoler \(EF\) dans l’équation

\[ \cos(50^\circ) = \frac{8}{EF} \]

Pour trouver \(EF\), on multiplie des deux côtés par \(EF\) puis on divise par \(\cos(50^\circ)\) :

\[ EF = \frac{8}{\cos(50^\circ)} \]

Étape 2 : Calculer la valeur numérique

1. Calculer \(\cos(50^\circ)\) :

\[ \cos(50^\circ) \approx 0,6428 \]

2. Effectuer la division :

\[ EF \approx \frac{8}{0,6428} \approx 12,46\ \text{cm} \]

Conclusion :

La longueur de \(EF\) est d’environ 12,46 cm.