Exercice 8

Question : Lorsqu’un cycliste doit affronter un vent de face, il ne peut pas avancer directement. Si la destination choisie nécessite de pédaler contre le vent, le cycliste devra progresser en faisant des zigzags. Comparez les trajectoires de deux cyclistes en calculant la distance parcourue par chacun, en kilomètres et arrondie au dixième.

Réponse

Pour une destination de 10 km, le Cycliste A parcourt directement 10 km. En revanche, le Cycliste B, en faisant des zigzags à un angle de 30°, doit parcourir environ 11,5 km, soit une distance supplémentaire de 15 %.

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice : Comparaison des trajectoires de deux cyclistes face au vent

Dans cet exercice, nous allons comparer les distances parcourues par deux cyclistes lorsqu’ils doivent affronter un vent de face. L’un des cyclistes avance directement vers sa destination, tandis que l’autre doit faire des zigzags pour progresser en dépit du vent. Nous allons calculer la distance parcourue par chacun en kilomètres, arrondie au dixième.

1. Compréhension du problème

• Cycliste A : Avance directement vers sa destination sans être gêné par le vent.
• Cycliste B : Doit faire des zigzags pour compenser le vent de face et atteindre la même destination.

Notre objectif est de déterminer quelle distance chacun des cyclistes parcourt pour atteindre la destination.

2. Modélisation du problème

Supposons que la destination se trouve à une distance \(D\) kilomètres en ligne droite.

• Pour le Cycliste A :
  • Il avance directement, donc la distance parcourue est exactement \(D\) kilomètres.
• Pour le Cycliste B :
  • En raison du vent de face, il ne peut pas avancer en ligne droite et doit faire des zigzags.
  • Les zigzags forment des angles avec la direction de la destination.
  • Supposons que l’angle de zigzag est \(\theta\) degrés par rapport à la direction directe.

3. Calcul de la distance parcourue par le Cycliste B

Lorsque le Cycliste B effectue des zigzags à un angle \(\theta\), sa trajectoire forme un triangle rectangle avec :

• L’hypoténuse : La trajectoire réelle qu’il parcourt.
• Le côté adjacent : La distance directe \(D\) vers la destination.

Selon le cosinus de l’angle, nous avons la relation suivante :

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{Distance directe}}{\text{Distance parcourue par Cycliste B}} \Rightarrow \text{Distance parcourue par Cycliste B} = \frac{D}{\cos(\theta)} \]

4. Exemple de calcul

Supposons que l’angle de zigzag \(\theta\) soit de \(30^\circ\).

1. Calcul du cosinus de \(30^\circ\) :

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,8660 \]

2. Calcul de la distance parcourue par le Cycliste B :

\[ \text{Distance parcourue par Cycliste B} = \frac{D}{0,8660} \approx 1,1547 \times D \]

3. Interprétation :

Le Cycliste B parcourt environ \(1,1547\) fois la distance directe \(D\). Cela signifie qu’il parcourt environ 15,5 % de plus que le Cycliste A pour atteindre la même destination.

Exemple Numérique :

Si la destination est à \(D = 10\) kilomètres :

• Cycliste A :
  • Distance parcourue = \(10\) km
• Cycliste B :
  • Distance parcourue = \(\frac{10}{0,8660} \approx 11,5\) km

5. Conclusion

Dans cet exemple, le Cycliste B doit parcourir une distance supplémentaire d’environ 1,5 kilomètre (soit 15 %) par rapport au Cycliste A pour atteindre la destination en faisant des zigzags afin de compenser le vent de face.

Cette approche montre comment un vent de face oblige un cycliste à augmenter la distance parcourue en modifiant sa trajectoire. Plus l’angle de zigzag est important, plus la distance supplémentaire sera grande.