Question : Dans le triangle \(DEF\), qui est rectangle en \(D\), la longueur \(EF\) est de \(7\ \mathrm{cm}\) et l’angle \(\widehat{\mathrm{DFE}}\) mesure \(37^\circ\). Dessine un schéma, puis calcule la longueur \(DE\). Arrondis ton résultat au millimètre.
La longueur DE vaut 7 × sin(37°) ≈ 4,21 cm.
Nous considérons le triangle DEF rectangle en D, ce qui signifie que l’angle en D mesure 90°. La longueur EF correspond à l’hypoténuse et vaut 7 cm. On connaît également la mesure de l’angle ∠DFE qui est 37°.
Voici les étapes de la résolution :
• Tout d’abord, dessinons un schéma simplifié du triangle DEF : - Place D comme le sommet où se trouve l’angle droit (90°). - Trace DE et DF perpendiculaires l’un à l’autre. - La longueur EF (qui relie E et F) est l’hypoténuse et sa mesure est donnée (7 cm). - L’angle ∠DFE (à F) mesure 37°.
• Pour trouver DE, nous identifions dans le triangle l’angle de 37° situé en F. Par rapport à cet angle : - Le côté opposé est DE. - Le côté adjacent est DF. - L’hypoténuse est EF.
• La relation trigonométrique qui lie l’angle et le côté opposé dans un triangle rectangle est : sin(37°) = (DE) / (EF)
• En remplaçant EF par 7 cm, nous obtenons : sin(37°) = DE / 7 ⟹ DE = 7 × sin(37°)
• Calculons la valeur de sin(37°). À l’aide d’une calculatrice (en mode degrés), on trouve généralement : sin(37°) ≈ 0,6018
• En multipliant, on a : DE = 7 × 0,6018 ≈ 4,2126 cm
• Pour arrondir au millimètre, nous arrondissons au centième de centimètre (car 1 mm = 0,1 cm) : 4,2126 cm ≈ 4,21 cm
Conclusion : La longueur DE est d’environ 4,21 cm.
Ainsi, grâce à l’utilisation de la définition de la fonction sinus dans le triangle rectangle, nous avons déterminé que DE ≈ 4,21 cm.