Question : Complétez les phrases suivantes :
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(E\) : _______.
L’hypoténuse est _______.
Le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\) est _______.
On en déduit l’égalité \(\sin \widehat{DEF} = \_\_\_\_\_\_\_\).
Résumé des réponses :
Complétons les phrases une par une en comprenant bien les propriétés d’un triangle rectangle et les définitions des fonctions trigonométriques.
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(E\) : _______.
Correction :
Lorsque nous savons qu’un triangle est rectangle en un certain sommet, cela nous indique que l’angle à ce sommet est de \(90^\circ\). Dans notre triangle \(DEF\), l’angle droit est en \(E\).
Donc, la phrase complétée est : > \(DEF\) est un triangle rectangle en \(E\) : l’angle \(\widehat{DEF}\) est de \(90^\circ\)**.
L’hypoténuse est _______.
Correction :
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Elle est toujours le côté le plus long du triangle.
Dans le triangle \(DEF\), l’angle droit est en \(E\). Les deux autres côtés sont \(DE\) et \(EF\).
Donc, l’hypoténuse est le côté qui relie les deux autres sommets qui ne sont pas le point \(E\). C’est le côté \(DF\).
Ainsi, la phrase complétée est : > L’hypoténuse est \(DF\).
Le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\) est _______.
Correction :
Le côté opposé à un angle dans un triangle est le côté qui ne forme pas cet angle.
Ici, nous cherchons le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\), qui est l’angle en \(D\).
Les côtés formant l’angle \(D\) sont \(DE\) et \(DF\). Le côté qui ne forme pas l’angle \(D\) est \(EF\).
Donc, le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\) est \(EF\).
Ainsi, la phrase complétée est : > Le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\) est \(EF\).
On en déduit l’égalité \(\sin \widehat{DEF} = \_\_\_\_\_\_\_\).
Correction :
La fonction sinus d’un angle dans un triangle rectangle est définie comme le rapport entre le côté opposé à cet angle et l’hypoténuse.
Nous avons déterminé précédemment que : - Le côté opposé à \(\widehat{DEF}\) est \(EF\). - L’hypoténuse est \(DF\).
Donc, \[ \sin \widehat{DEF} = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{EF}{DF} \]
Ainsi, l’égalité complétée est : > On en déduit l’égalité \(\sin \widehat{DEF} = \frac{EF}{DF}\).
Cette correction vous permet de comprendre comment identifier les différents éléments d’un triangle rectangle et comment appliquer les définitions des fonctions trigonométriques pour établir des égalités.