Question : \(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\) tel que \(DF = 4\ \mathrm{cm}\) et \(EF = 6\ \mathrm{cm}\). Fais un schéma, puis calcule la mesure de l’angle \(\widehat{DFE}\).
L’angle DFE est d’environ 48°.
Nous considérons le triangle DEF rectangle en D. On connaît :
• DF = 4 cm
• EF = 6 cm (côté opposé à l’angle droit, donc l’hypoténuse)
L’objectif est de calculer la mesure de l’angle DFE (celui ayant pour sommet le point F).
────────────────────────────── 1 – Dessin du schéma
• Placez le point D et tracez deux segments perpendiculaires DF et DE. • Marquez le point F sur le segment DF et le point E sur le segment DE. • Reliez ensuite E à F pour former l’hypoténuse EF (qui mesure 6 cm).
────────────────────────────── 2 – Calcul de la longueur DE
Puisque le triangle DEF est rectangle en D, le théorème de Pythagore s’applique. Il nous dit que :
(EF)² = (DF)² + (DE)²
On connaît EF = 6 cm et DF = 4 cm, donc :
6² = 4² + (DE)²
36 = 16 + (DE)²
On isole (DE)² :
(DE)² = 36 – 16 = 20
Ainsi, la longueur DE est :
DE = √20 = 2√5 (cm)
────────────────────────────── 3 – Calcul de l’angle DFE
L’angle DFE est situé en F et est formé par les segments FD et FE.
Pour cet angle, nous avons : • Le côté adjacent : DF = 4 cm
• Le côté opposé : DE = 2√5 cm
On peut utiliser la tangente pour cet angle : tan(∠DFE) = (côté opposé)/(côté adjacent) = (DE)/(DF) = (2√5)/4 = √5/2
Pour trouver ∠DFE, on prend l’arc tangente (la fonction tan^(-1)) :
∠DFE = arctan(√5/2)
────────────────────────────── 4 – Estimation numérique
Calculons numériquement :
√5 ≈ 2,236
√5/2 ≈ 2,236/2 ≈ 1,118
Ensuite, l’arc tangente de 1,118 donne environ :
∠DFE ≈ 48° (en arrondissant à l’unité près)
────────────────────────────── Conclusion
La mesure de l’angle DFE est d’environ 48°.