Exercice 38

Question :
DEF est un triangle rectangle en \(E\) tel que \(\mathrm{DE} = 10\,\mathrm{cm}\) et \(\widehat{\mathrm{EDF}} = 45^{\circ}\).

  1. Construis la figure à l’échelle réelle.

  2. Soit \(K\) le pied de la hauteur issue de \(E\). Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([\mathrm{DK}]\), arrondie au millimètre.

  3. Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([EF]\), arrondie au millimètre.

Réponse

  1. Pour construire le triangle, tracez DE = 10 cm, puis en E la perpendiculaire et placez F tel que EF = 10 cm; reliez D à F pour obtenir l’hypoténuse et vérifiez que ∠EDF = 45°.

  2. La longueur de DK est donnée par DK = (10²)/(10√2) = 5√2 cm, soit environ 7,07 cm.

  3. Dans ce triangle rectangle isocèle, EF = 10 cm.

Corrigé détaillé

Nous donnons ci-dessous une correction détaillée de l’exercice en expliquant chacune des étapes.

────────────────────────────── Exposé du problème

On considère le triangle DEF qui est rectangle en E. On a :  • DE = 10 cm,  • ∠EDF = 45° (cet angle est mesuré au point D).

Remarquons que, dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.
Ici, l’angle en E vaut 90° et l’angle en D vaut 45°.
Par conséquent, l’angle au point F est :

  ∠EF D = 180° – 90° – 45° = 45°.

Le triangle DEF possède donc deux angles de 45° et un angle droit. Cela signifie que c’est un triangle rectangle isocèle dont les côtés adjacents à l’angle droit (DE et EF) sont de même longueur. Puisque DE = 10 cm, on en déduit tout de suite :   EF = 10 cm.

────────────────────────────── Partie a. Construction de la figure à l’échelle réelle

  1. Tracez une droite et choisissez un point E.
  2. À partir de E, tracez le segment [DE] de longueur 10 cm.
  3. En E, construisez la perpendiculaire à DE (puisque l’angle en E est droit) et, sur cette droite, placez le point F de sorte à ce que EF = 10 cm (d’après la remarque précédente).
  4. Reliez D à F pour obtenir le segment DF (l’hypoténuse).
  5. Mesurez ensuite l’angle ∠EDF (au point D) à l’aide d’un rapporteur pour vérifier qu’il mesure bien 45°.

Cette construction correspond exactement à un triangle rectangle isocèle de 10 cm de côtés pour les jambes.

────────────────────────────── Partie b. Calcul de la longueur du segment [DK], avec K le pied de la hauteur issue de E

On trace dans le triangle la hauteur issue de E sur la droite (DF). Le point K est le pied de cette hauteur (c’est-à-dire l’intersection de la hauteur et de la droite DF).

Une propriété connue dans un triangle rectangle est la suivante :
Dans un triangle rectangle, si l’on laisse tomber la hauteur depuis l’angle droit vers l’hypoténuse, alors la longueur du segment d’un des sommets du triangle sur l’hypoténuse se calcule grâce à la formule   DK = (DE)² / DF, puisque le segment DK est adjacent au sommet D.

Nous avons déjà :
 • DE = 10 cm,
 • DF est l’hypoténuse du triangle rectangle isocèle.
Pour calculer DF, on utilise le théorème de Pythagore :

  DF² = DE² + EF² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200.

Donc,
  DF = √200 = 10√2 cm.

Dès lors, on obtient :

  DK = (10²) / (10√2) = 100 / (10√2) = 10/√2 cm.

Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √2 :

  DK = (10√2) / (2) = 5√2 cm.

Il reste à donner une valeur arrondie au millimètre.
On calcule numériquement 5√2 ≈ 5 × 1,414 = 7,07 cm (arrondi au millimètre).

────────────────────────────── Partie c. Calcul de la longueur du segment [EF]

Comme nous l’avons démontré dans l’étude des angles, le triangle est rectangle isocèle en E. Par définition, dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés adjacents à l’angle droit sont de même longueur.
Nous connaissons DE = 10 cm ; il s’ensuit que :

  EF = 10 cm.

On peut également vérifier en appliquant le théorème de Pythagore dans l’autre sens :   EF² = DF² − DE² = (10√2)² − 10² = 200 − 100 = 100, donc EF = √100 = 10 cm.

────────────────────────────── Réponses finales

  1. La construction consiste à tracer le segment DE de 10 cm, puis à construire en E la perpendiculaire à DE et placer F tel que EF = 10 cm. Reliez ensuite D à F et vérifiez que ∠EDF = 45°.
  2. La longueur de DK est 5√2 cm, soit environ 7,07 cm.
  3. La longueur de EF est 10 cm.

Cette correction détaille chacune des étapes et utilise des propriétés des triangles rectangles pour trouver les longueurs demandées.

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