Question :
DEF est un triangle rectangle en \(E\)
tel que \(\mathrm{DE} =
10\,\mathrm{cm}\) et \(\widehat{\mathrm{EDF}} = 45^{\circ}\).
Construis la figure à l’échelle réelle.
Soit \(K\) le pied de la hauteur issue de \(E\). Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([\mathrm{DK}]\), arrondie au millimètre.
Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([EF]\), arrondie au millimètre.
Pour construire le triangle, tracez DE = 10 cm, puis en E la perpendiculaire et placez F tel que EF = 10 cm; reliez D à F pour obtenir l’hypoténuse et vérifiez que ∠EDF = 45°.
La longueur de DK est donnée par DK = (10²)/(10√2) = 5√2 cm, soit environ 7,07 cm.
Dans ce triangle rectangle isocèle, EF = 10 cm.
Nous donnons ci-dessous une correction détaillée de l’exercice en expliquant chacune des étapes.
────────────────────────────── Exposé du problème
On considère le triangle DEF qui est rectangle en E. On a : • DE = 10 cm, • ∠EDF = 45° (cet angle est mesuré au point D).
Remarquons que, dans un triangle, la somme des angles vaut
180°.
Ici, l’angle en E vaut 90° et l’angle en D vaut 45°.
Par conséquent, l’angle au point F est :
∠EF D = 180° – 90° – 45° = 45°.
Le triangle DEF possède donc deux angles de 45° et un angle droit. Cela signifie que c’est un triangle rectangle isocèle dont les côtés adjacents à l’angle droit (DE et EF) sont de même longueur. Puisque DE = 10 cm, on en déduit tout de suite : EF = 10 cm.
────────────────────────────── Partie a. Construction de la figure à l’échelle réelle
Cette construction correspond exactement à un triangle rectangle isocèle de 10 cm de côtés pour les jambes.
────────────────────────────── Partie b. Calcul de la longueur du segment [DK], avec K le pied de la hauteur issue de E
On trace dans le triangle la hauteur issue de E sur la droite (DF). Le point K est le pied de cette hauteur (c’est-à-dire l’intersection de la hauteur et de la droite DF).
Une propriété connue dans un triangle rectangle est la suivante
:
Dans un triangle rectangle, si l’on laisse tomber la hauteur depuis
l’angle droit vers l’hypoténuse, alors la longueur du segment d’un des
sommets du triangle sur l’hypoténuse se calcule grâce à la formule DK
= (DE)² / DF, puisque le segment DK est adjacent au sommet D.
Nous avons déjà :
• DE = 10 cm,
• DF est l’hypoténuse du triangle rectangle isocèle.
Pour calculer DF, on utilise le théorème de Pythagore :
DF² = DE² + EF² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200.
Donc,
DF = √200 = 10√2 cm.
Dès lors, on obtient :
DK = (10²) / (10√2) = 100 / (10√2) = 10/√2 cm.
Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √2 :
DK = (10√2) / (2) = 5√2 cm.
Il reste à donner une valeur arrondie au millimètre.
On calcule numériquement 5√2 ≈ 5 × 1,414 = 7,07 cm (arrondi au
millimètre).
────────────────────────────── Partie c. Calcul de la longueur du segment [EF]
Comme nous l’avons démontré dans l’étude des angles, le triangle est
rectangle isocèle en E. Par définition, dans un triangle rectangle
isocèle, les deux côtés adjacents à l’angle droit sont de même
longueur.
Nous connaissons DE = 10 cm ; il s’ensuit que :
EF = 10 cm.
On peut également vérifier en appliquant le théorème de Pythagore dans l’autre sens : EF² = DF² − DE² = (10√2)² − 10² = 200 − 100 = 100, donc EF = √100 = 10 cm.
────────────────────────────── Réponses finales
Cette correction détaille chacune des étapes et utilise des propriétés des triangles rectangles pour trouver les longueurs demandées.