Exercice 35

Soit un triangle équilatéral de côté \(c\).

1. Exprimez par un nombre exact le rapport de la longueur de sa hauteur à la longueur de son côté.
2. Combien mesure la hauteur d’un triangle équilatéral de \(20\,\text{cm}\) de côté ?

Réponse

1. Le rapport de la hauteur au côté est \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. La hauteur d’un triangle équilatéral de 20 cm de côté est \(10\sqrt{3}\,\text{cm}\) (≈ 17,32 cm).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question : Soit un triangle équilatéral de côté \(c\).

1. Exprimez par un nombre exact le rapport de la longueur de sa hauteur à la longueur de son côté.
2. Combien mesure la hauteur d’un triangle équilatéral de \(20\,\text{cm}\) de côté ?

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1. Rapport de la hauteur au côté

Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont de même longueur et toutes les angles sont égaux à \(60^\circ\). Pour déterminer le rapport de la hauteur \(h\) à la longueur du côté \(c\), nous pouvons utiliser les propriétés de ce type de triangle.

Étapes :

1. Dessiner la hauteur : La hauteur d’un triangle équilatéral coupe le triangle en deux triangles rectangles congruents. Elle correspond à la médiane, la hauteur et la bissectrice de l’angle.

2. Appliquer le théorème de Pythagore : Dans l’un des triangles rectangles formés, les côtés sont :

   • L’hypoténuse : \(c\)
   • Un des côtés adjacents à l’angle droit : \(\frac{c}{2}\) (car la hauteur divise la base en deux segments égaux)
   • L’autre côté : \(h\) (la hauteur que l’on cherche)

   Selon le théorème de Pythagore : \[ h^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = c^2 \]

3. Résoudre pour \(h\) : \[ h^2 + \frac{c^2}{4} = c^2 \\ h^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} \\ h^2 = \frac{3c^2}{4} \\ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \, c \]

4. Calculer le rapport \(\frac{h}{c}\) : \[ \frac{h}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \, c}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Réponse : Le rapport de la hauteur à la longueur du côté est \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

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2. Calcul de la hauteur pour un côté de \(20\,\text{cm}\)

Nous avons déjà déterminé que la hauteur \(h\) d’un triangle équilatéral est donnée par : \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \, c \]

Étapes :

1. Substituer la valeur de \(c\) : \[ c = 20\,\text{cm} \]

2. Calculer la hauteur : \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20\,\text{cm} = 10\,\sqrt{3}\,\text{cm} \]

Réponse : La hauteur du triangle équilatéral est de \(10\,\sqrt{3}\,\text{cm}\), soit environ \(17,32\,\text{cm}\).

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