Question :
Calculez la longueur de la base d’un triangle dont la hauteur est de 5 cm et l’aire est de \(15\,\mathrm{cm}^{2}\).
Un triangle équilatéral a un périmètre de \(12\,\mathrm{cm}\) et une aire d’environ \(6,2\,\mathrm{cm}^{2}\). Calculez sa hauteur.
Résumé de la correction :
La base du triangle mesure 6 cm.
La hauteur du triangle équilatéral est d’environ 3,1 cm.
Énoncé : Calculez la longueur de la base d’un triangle dont la hauteur est de 5 cm et l’aire est de \(15\,\mathrm{cm}^{2}\).
Solution :
Pour trouver la longueur de la base (\(b\)) d’un triangle connaissant sa hauteur (\(h\)) et son aire (\(A\)), on utilise la formule de l’aire du triangle :
\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h \]
Étapes de calcul :
Écrire la formule de l’aire : \[ 15 = \frac{1}{2} \times b \times 5 \]
Simplifier l’équation : \[ 15 = \frac{5}{2} \times b \]
Isoler la variable \(b\) : Pour trouver \(b\), on multiplie les deux côtés de l’équation par \(\frac{2}{5}\) : \[ 15 \times \frac{2}{5} = b \]
Effectuer le calcul : \[ b = \frac{30}{5} = 6 \]
Réponse : La longueur de la base du triangle est de 6 cm.
Énoncé : Un triangle équilatéral a un périmètre de \(12\,\mathrm{cm}\) et une aire d’environ \(6,2\,\mathrm{cm}^{2}\). Calculez sa hauteur.
Solution :
Un triangle équilatéral est un triangle où les trois côtés sont de même longueur et où les trois angles sont égaux.
Trouver la longueur d’un côté :
Puisque le périmètre (\(P\)) d’un triangle équilatéral est la somme des longueurs de ses trois côtés et que tous les côtés sont égaux, la longueur d’un côté (\(c\)) est : \[ c = \frac{P}{3} = \frac{12}{3} = 4\,\mathrm{cm} \]
Utiliser la formule de l’aire d’un triangle équilatéral :
L’aire (\(A\)) d’un triangle équilatéral peut être calculée à partir de la longueur d’un côté : \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times c^2 \]
Mais nous allons plutôt utiliser la formule générale de l’aire en fonction de la base et de la hauteur : \[ A = \frac{1}{2} \times c \times h \]
Où \(h\) est la hauteur que nous voulons trouver.
Isoler la hauteur (\(h\)) : \[ 6,2 = \frac{1}{2} \times 4 \times h \]
\[ 6,2 = 2 \times h \]
\[ h = \frac{6,2}{2} = 3,1\,\mathrm{cm} \]
(Note : Cette valeur est une approximation basée sur l’aire donnée.)
Réponse : La hauteur du triangle équilatéral est d’environ 3,1 cm.