Exercice 34

Question :

  1. Calculez la longueur de la base d’un triangle dont la hauteur est de 5 cm et l’aire est de \(15\,\mathrm{cm}^{2}\).

  2. Un triangle équilatéral a un périmètre de \(12\,\mathrm{cm}\) et une aire d’environ \(6,2\,\mathrm{cm}^{2}\). Calculez sa hauteur.

Réponse

Résumé de la correction :

  1. La base du triangle mesure 6 cm.

  2. La hauteur du triangle équilatéral est d’environ 3,1 cm.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice
a) Calcul de la longueur de la base d’un triangle

Énoncé : Calculez la longueur de la base d’un triangle dont la hauteur est de 5 cm et l’aire est de \(15\,\mathrm{cm}^{2}\).

Solution :

Pour trouver la longueur de la base (\(b\)) d’un triangle connaissant sa hauteur (\(h\)) et son aire (\(A\)), on utilise la formule de l’aire du triangle :

\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h \]

Étapes de calcul :

  1. Écrire la formule de l’aire : \[ 15 = \frac{1}{2} \times b \times 5 \]

  2. Simplifier l’équation : \[ 15 = \frac{5}{2} \times b \]

  3. Isoler la variable \(b\) : Pour trouver \(b\), on multiplie les deux côtés de l’équation par \(\frac{2}{5}\) : \[ 15 \times \frac{2}{5} = b \]

  4. Effectuer le calcul : \[ b = \frac{30}{5} = 6 \]

Réponse : La longueur de la base du triangle est de 6 cm.


b) Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral

Énoncé : Un triangle équilatéral a un périmètre de \(12\,\mathrm{cm}\) et une aire d’environ \(6,2\,\mathrm{cm}^{2}\). Calculez sa hauteur.

Solution :

Un triangle équilatéral est un triangle où les trois côtés sont de même longueur et où les trois angles sont égaux.

  1. Trouver la longueur d’un côté :

    Puisque le périmètre (\(P\)) d’un triangle équilatéral est la somme des longueurs de ses trois côtés et que tous les côtés sont égaux, la longueur d’un côté (\(c\)) est : \[ c = \frac{P}{3} = \frac{12}{3} = 4\,\mathrm{cm} \]

  2. Utiliser la formule de l’aire d’un triangle équilatéral :

    L’aire (\(A\)) d’un triangle équilatéral peut être calculée à partir de la longueur d’un côté : \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times c^2 \]

    Mais nous allons plutôt utiliser la formule générale de l’aire en fonction de la base et de la hauteur : \[ A = \frac{1}{2} \times c \times h \]

    \(h\) est la hauteur que nous voulons trouver.

  3. Isoler la hauteur (\(h\)) : \[ 6,2 = \frac{1}{2} \times 4 \times h \]

    \[ 6,2 = 2 \times h \]

    \[ h = \frac{6,2}{2} = 3,1\,\mathrm{cm} \]

    (Note : Cette valeur est une approximation basée sur l’aire donnée.)

Réponse : La hauteur du triangle équilatéral est d’environ 3,1 cm.

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