Exercice 32

Les côtés d’un triangle mesurent \(56\ \text{cm}\), \(39\ \text{cm}\) et \(25\ \text{cm}\). Calculer l’aire de ce triangle.
Indice : Calculez la hauteur relative au côté de 56 cm.

Réponse

L’aire du triangle est de 420 cm².

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer l’aire du triangle en trouvant d’abord la hauteur h relative au côté de 56 cm (que nous prendrons comme base). Voici les étapes de la démarche :

1. Considérons le triangle ABC avec la base BC = 56 cm ainsi que le sommet A. La hauteur h est tracée depuis A et perpendiculaire à BC, et son pied est le point D sur BC. Ainsi, le côté BC est divisé en deux segments : BD = x et DC = 56 – x.

2. On sait que les trois côtés du triangle mesurent 56 cm, 39 cm et 25 cm. Supposons que les côtés adjacents au sommet A soient de longueurs AB = 39 cm et AC = 25 cm. Dans les triangles rectangles ABD et ADC, la hauteur h joue le rôle de l’un des côtés de l’angle droit.

3. Dans le triangle rectangle ABD (avec hypotenuse AB = 39 cm) :   x² + h² = 39²    (équation 1)

   Dans le triangle rectangle ADC (avec hypotenuse AC = 25 cm) :   (56 – x)² + h² = 25²  (équation 2)

4. Nous avons donc les équations :   (1) x² + h² = 1521      (puisque 39² = 1521)   (2) (56 – x)² + h² = 625    (puisque 25² = 625)

5. Pour éliminer h², soustrayons l’équation (2) de l’équation (1) :   x² – (56 – x)² = 1521 – 625   x² – (56² – 112x + x²) = 896

   Calculons 56² :   56² = 3136

   Ainsi, l’équation devient :   x² – (3136 – 112x + x²) = 896   x² – 3136 + 112x – x² = 896   112x – 3136 = 896

6. Isolons x :   112x = 896 + 3136   112x = 4032   x = 4032 ÷ 112   x = 36

7. Maintenant, déterminons h en remplaçant x dans l’équation (1) :   x² + h² = 1521   36² + h² = 1521   1296 + h² = 1521   h² = 1521 – 1296   h² = 225   h = √225 = 15

8. L’aire du triangle se calcule avec la formule de l’aire (A) égale à la moitié du produit de la base et de la hauteur :   A = ½ × base × hauteur   A = ½ × 56 × 15   A = 28 × 15   A = 420 cm²

Ainsi, l’aire du triangle est de 420 cm².