Exercice 31

Placer les points \(A(1 ; -2)\), \(B(9 ; 2)\) et \(C(4 ; 7)\) dans un même système d’axes. Déterminer graphiquement les coordonnées de l’orthocentre du triangle \(ABC\).

Réponse

Les coordonnées de l’orthocentre du triangle \(ABC\) sont \((6\ ;\ 3)\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question : Placer les points \(A(1 ; -2)\), \(B(9 ; 2)\) et \(C(4 ; 7)\) dans un même système d’axes. Déterminer graphiquement les coordonnées de l’orthocentre du triangle \(ABC\).

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Étape 1 : Tracer le système d’axes et placer les points

1. Tracer les axes de coordonnées :
   • Dessinez deux droites perpendiculaires se coupant en un point que l’on appellera l’origine \(O(0 ; 0)\).
   • L’axe horizontal est l’axe des abscisses (\(x\)) et l’axe vertical est l’axe des ordonnées (\(y\)).
2. Placer les points sur le plan :
   • Point \(A(1 ; -2)\) : À partir de l’origine, déplacez-vous de 1 unité vers la droite sur l’axe \(x\) et de 2 unités vers le bas sur l’axe \(y\).
   • Point \(B(9 ; 2)\) : À partir de l’origine, déplacez-vous de 9 unités vers la droite sur l’axe \(x\) et de 2 unités vers le haut sur l’axe \(y\).
   • Point \(C(4 ; 7)\) : À partir de l’origine, déplacez-vous de 4 unités vers la droite sur l’axe \(x\) et de 7 unités vers le haut sur l’axe \(y\).
3. Relier les points pour former le triangle \(ABC\) :
   • Tracez les segments de droite \(AB\), \(BC\) et \(CA\) pour former le triangle.

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Étape 2 : Déterminer les équations des côtés du triangle

Pour trouver les hauteurs du triangle, il est nécessaire de connaître les pentes des côtés opposés.

1. Calcul de la pente du côté \(BC\) : \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{7 - 2}{4 - 9} = \frac{5}{-5} = -1 \]

2. Calcul de la pente du côté \(AC\) : \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{7 - (-2)}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3 \]

3. Calcul de la pente du côté \(AB\) : \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-2)}{9 - 1} = \frac{4}{8} = 0.5 \]

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Étape 3 : Déterminer les équations des hauteurs

Une hauteur est une droite perpendiculaire à un côté du triangle passant par le sommet opposé. Pour déterminer les équations des hauteurs, nous devons :

1. Trouver la pente de la hauteur : La pente d’une droite perpendiculaire est l’opposé de l’inverse de la pente de la droite de référence.

2. Écrire l’équation de la hauteur à l’aide de la pente et du point par lequel elle passe.

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1. Hauteur issue de \(A\) (perpendiculaire au côté \(BC\)) :
   • Pente du côté \(BC\) : \(m_{BC} = -1\)
   • Pente de la hauteur \(h_A\) : \(m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-1} = 1\)
   • Équation de la hauteur : \[ y - y_A = m_{h_A}(x - x_A) \\ y - (-2) = 1(x - 1) \\ y + 2 = x - 1 \\ y = x - 3 \] \[ \boxed{y = x - 3} \]
2. Hauteur issue de \(B\) (perpendiculaire au côté \(AC\)) :
   • Pente du côté \(AC\) : \(m_{AC} = 3\)
   • Pente de la hauteur \(h_B\) : \(m_{h_B} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{3}\)
   • Équation de la hauteur : \[ y - y_B = m_{h_B}(x - x_B) \\ y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 9) \\ y - 2 = -\frac{1}{3}x + 3 \\ y = -\frac{1}{3}x + 5 \] \[ \boxed{y = -\frac{1}{3}x + 5} \]

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Étape 4 : Trouver l’orthocentre

L’orthocentre est le point d’intersection des trois hauteurs du triangle. Nous avons déjà déterminé les équations de deux hauteurs :

\[ \begin{cases} y = x - 3 \\ y = -\frac{1}{3}x + 5 \end{cases} \]

1. Résoudre le système d’équations : \[ x - 3 = -\frac{1}{3}x + 5 \] \[ x + \frac{1}{3}x = 5 + 3 \] \[ \frac{4}{3}x = 8 \] \[ x = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \]

2. Calculer \(y\) en remplaçant \(x = 6\) dans l’une des équations : \[ y = 6 - 3 = 3 \]

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Conclusion :

Les coordonnées de l’orthocentre du triangle \(ABC\) sont \((6 \ ; \ 3)\).