Exercice 30

Évaluez les affirmations suivantes :

1. Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre du cercle circonscrit.

2. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également une hauteur.

Réponse

Les deux affirmations sont vraies.

Corrigé détaillé

Nous allons examiner chacune des affirmations une par une.

────────────────────────── Point a) Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre du cercle circonscrit.

1. Définition du triangle équilatéral :
   Dans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur et les trois angles ont la même mesure (60° chacun).

2. Propriétés particulières :
   Dans ce type de triangle, les médiatrices (droites passant par le milieu d’un côté et perpendiculaires à celui-ci), les bissectrices (droites partageant un angle en deux angles égaux), les médianes (droites reliant un sommet au milieu du côté opposé) et les hauteurs (droites issues d’un sommet et perpendiculaires au côté opposé) se confondent.
   Cela signifie que les différents centres associés au triangle – le centre du cercle circonscrit (point d’intersection des médiatrices) et le centre du cercle inscrit (point d’intersection des bissectrices) – sont exactement le même point.

3. Conclusion pour le point a) :
   Le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident dans un triangle équilatéral.
   Ainsi, l’affirmation a) est VRAIE.

────────────────────────── Point b) Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également une hauteur.

1. Définition du triangle isocèle :
   Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés s’appelle le sommet principal.

2. Propriétés de symétrie :
   Le triangle isocèle présente une symétrie par rapport à la droite qui passe par le sommet principal et le milieu du côté opposé (la base).
   Cette droite joue plusieurs rôles essentiels : • Médiane : Elle relie le sommet principal au milieu de la base. • Bissectrice : Elle partage l’angle au sommet en deux angles égaux. • Hauteur : Elle est perpendiculaire à la base.

3. Conclusion pour le point b) :
   Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également la hauteur.
   L’affirmation b) est donc VRAIE.

────────────────────────── Conclusion générale :

Les deux affirmations données sont vraies.