Exercice 28

Soit un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\). Sachant que \(\overline{AB} = 17,5 \,\mathrm{cm}\) et \(\overline{AC} = 60 \,\mathrm{cm}\), calculer la longueur de la hauteur issue du sommet \(A\).

Réponse

La hauteur issue de A dans ce triangle rectangle est de 16,8 cm.

Corrigé détaillé

Nous avons un triangle rectangle en A. Les côtés qui forment l’angle droit en A sont AB et AC, et le côté opposé à l’angle droit, BC, est l’hypoténuse. On souhaite trouver la hauteur issue du sommet A, c’est-à-dire la distance perpendiculaire de A à BC.

Étape 1 : Calcul de l’hypoténuse BC
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore nous dit que la somme des carrés des deux côtés perpendiculaires est égale au carré de l’hypoténuse. Ainsi,
  BC² = AB² + AC²
En remplaçant par les valeurs :
  BC² = (17,5)² + (60)²
  BC² = 306,25 + 3600
  BC² = 3906,25
Pour obtenir BC, on prend la racine carrée :
  BC = √3906,25 = 62,5 cm

Étape 2 : Calcul de la hauteur issue de A
Dans un triangle, l’aire (S) peut être calculée de deux façons. D’une part, en utilisant les deux côtés perpendiculaires (dans notre cas AB et AC) :
  S = (1/2) × AB × AC
D’autre part, en utilisant la hauteur issue de A (h) et la base BC :
  S = (1/2) × BC × h

Puisque l’aire est la même dans les deux expressions, on a :
  (1/2) × AB × AC = (1/2) × BC × h
On peut multiplier chaque côté de l’équation par 2 pour simplifier :
  AB × AC = BC × h
On résout alors pour h :
  h = (AB × AC) / BC

En remplaçant par les valeurs connues :
  h = (17,5 × 60) / 62,5
Calculons le numérateur :
  17,5 × 60 = 1050
Puis, le calcul de h :
  h = 1050 / 62,5
  h = 16,8

Conclusion
La hauteur issue du sommet A, mesurant la distance perpendiculaire de A à BC, est égale à 16,8 cm.