Exercice 24

Construisez un triangle isocèle \(ABC\) tel que \(\overline{AB} = \overline{AC}\). Les bissectrices des angles en \(B\) et \(C\) coupent respectivement les côtés \(AC\) et \(AB\) en \(X\) et \(Y\). Montrez que les triangles \(ABX\) et \(ACY\) sont semblables.

Réponse

Les triangles \(ABX\) et \(ACY\) sont semblables car ils partagent l’angle commun en \(A\) et les angles formés par les bissectrices des angles égaux en \(B\) et \(C\). Ainsi, par le critère de similarité angle-angle, \(\triangle ABX \sim \triangle ACY\).

Corrigé détaillé

Pour démontrer que les triangles \(ABX\) et \(ACY\) sont semblables, procédons étape par étape en utilisant les propriétés des triangles isocèles et des bissectrices.

1. Construction du triangle isocèle \(ABC\)

Nous construisons un triangle \(ABC\) tel que : - \(\overline{AB} = \overline{AC}\) (triangle isocèle en \(A\)).

2. Construction des bissectrices des angles en \(B\) et \(C\)

• La bissectrice de l’angle en \(B\) coupe le côté \(AC\) en un point \(X\).
• La bissectrice de l’angle en \(C\) coupe le côté \(AB\) en un point \(Y\).

Cela nous donne les segments \(BX\) et \(CY\) qui sont les bissectrices des angles correspondants.

3. Analyse des angles

Observons les angles des triangles impliqués :

• Dans le triangle \(ABC\) isocèle, les angles à la base sont égaux : \[ \angle ABC = \angle ACB \]

• Les bissectrices divisent ces angles en deux angles égaux : \[ \angle ABX = \angle XBC \quad \text{et} \quad \angle ACY = \angle YCB \]

4. Comparaison des angles des triangles \(ABX\) et \(ACY\)

Analysons les angles des deux triangles :

Triangle \(ABX\) :

• Angle en \(A\) : \(\angle BAC\)
• Angle en \(B\) : \(\angle ABX\)
• Angle en \(X\) : \(\angle AXB\)

Triangle \(ACY\) :

• Angle en \(A\) : \(\angle BAC\)
• Angle en \(C\) : \(\angle ACY\)
• Angle en \(Y\) : \(\angle AYB\)

Comparaison des angles :

1. Angle commun en \(A\) : \[ \angle BAC \text{ est commun aux deux triangles } ABX \text{ et } ACY. \]

2. Angles aux sommets \(B\) et \(C\) : \[ \angle ABX = \angle ACY \quad \text{(puisque ce sont des bissectrices des angles égaux } \angle ABC \text{ et } \angle ACB). \]

3. Angles en \(X\) et \(Y\) : \[ \angle AXB = \angle AYB \quad \text{(car } \angle AXB \text{ et } \angle AYB \text{ sont formés par les bissectrices)} \]

5. Application du critère de similarité par angle-angle (AA)

Deux triangles sont semblables si deux de leurs angles respectifs sont égaux. Dans notre cas :

• Premier angle égal : \(\angle BAC\) est commun aux deux triangles.
• Deuxième angle égal : \(\angle ABX = \angle ACY\).

Ainsi, par le critère AA, les triangles \(ABX\) et \(ACY\) sont semblables.

6. Conclusion

Nous avons démontré que : \[ \triangle ABX \sim \triangle ACY \] car ils possèdent deux angles égaux respectivement. Cette similarité permet d’établir des proportions entre les côtés correspondants des deux triangles, facilitant ainsi d’éventuelles calculs ou démonstrations complémentaires.