Exercice 23

Montrer que, dans un parallélogramme \(ABCD\), les triangles \(ABC\) et \(CDA\) sont semblables.

Réponse

Les triangles △ABC et △CDA sont semblables, car en coupant les côtés parallèles avec la diagonale AC, on obtient ∠BAC = ∠ACD et ∠BCA = ∠DAC, ce qui satisfait le critère AA.

Corrigé détaillé

On considère un parallélogramme ABCD et les triangles △ABC et △CDA. Nous allons montrer qu’ils sont semblables en établissant que deux angles de l’un sont égaux à deux angles de l’autre, ce qui suffit pour conclure à la similarité (critère d’angle-angle).

Étape 1 : Identifier les parallélismes
Dans un parallélogramme, on a : • AB ∥ CD
• AD ∥ BC

Étape 2 : Choisir un commun transversal
La diagonale AC est tracée et appartient aux deux triangles △ABC et △CDA. Par son tracé, elle coupe les côtés parallèles.

Étape 3 : Expliquer l’égalité du premier couple d’angles
Puisque AB ∥ CD et AC est une droite transversale, les angles situés sur des côtés opposés par rapport à AC sont correspondants.
– Dans △ABC, considérons l’angle ∠BAC, formé par les droites BA et AC.
– Dans △CDA, considérons l’angle ∠ACD, formé par les droites CA et CD.
D’après la propriété des droites parallèles coupées par une transversale, on a :
 ∠BAC = ∠ACD.

Étape 4 : Expliquer l’égalité du second couple d’angles
De même, AD ∥ BC et AC est encore la transversale.
– Dans △ABC, prenons l’angle ∠BCA, formé par les droites CB et CA.
– Dans △CDA, prenons l’angle ∠DAC, formé par les droites AD et AC.
Les propriétés des angles alternes intérieurs nous permettent d’affirmer :
 ∠BCA = ∠DAC.

Étape 5 : Conclure la similarité
Les deux triangles ont ainsi deux angles égaux respectivement (∠BAC = ∠ACD et ∠BCA = ∠DAC). Puisque la somme des angles d’un triangle est constante, le troisième angle de chaque triangle est lui aussi égal.
Dès lors, par le critère AA (deux angles égaux), on déduit que les triangles △ABC et △CDA sont semblables.

Conclusion
Nous avons montré que, dans un parallélogramme ABCD, les triangles △ABC et △CDA sont semblables.