Exercice 20

\(ABC\) est un triangle isocèle avec \(\overline{AB} = \overline{AC}\). On sait que \(\overline{AB}\) est supérieur de 2 cm à \(\overline{BC}\). De plus, le périmètre du triangle satisfait \(19\,\text{cm} \leq \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} \leq 40\,\text{cm}\). Encadrez au mieux la longueur du côté \(\overline{BC}\).

Réponse

La longueur du côté BC est comprise entre 5 cm et 12 cm.

Corrigé détaillé

Soit le côté BC = x. Comme le triangle est isocèle avec AB = AC et on sait que AB est supérieur de 2 cm à BC, on peut écrire :

  AB = AC = x + 2

Le périmètre P du triangle est alors :

  P = AB + AC + BC = (x + 2) + (x + 2) + x = 3x + 4

On nous indique que le périmètre est encadré par l’intervalle :

  19 cm ≤ 3x + 4 ≤ 40 cm

Procédons par étapes pour trouver les valeurs possibles de x :

1. Inégalité inférieure :
  3x + 4 ≥ 19
  On soustrait 4 de chaque côté :
    3x ≥ 15
  Puis on divise par 3 :
    x ≥ 5

2. Inégalité supérieure :
  3x + 4 ≤ 40
  On soustrait 4 de chaque côté :
    3x ≤ 36
  Puis on divise par 3 :
    x ≤ 12

Ainsi, d’après les conditions sur le périmètre, on a :

  5 ≤ x ≤ 12

Il faut également vérifier que ces valeurs engendrent bien un triangle. Pour tout triangle, la somme des deux côtés doit être supérieure au troisième côté. Vérifions avec les trois inégalités du triangle pour nos côtés x, x+2 et x+2 :

a) (x + 2) + (x + 2) > x
  2x + 4 > x
  Ce qui donne : x > -4 (toujours vrai puisque x est une longueur positive).

b) x + (x + 2) > x + 2
  2x + 2 > x + 2
  Ce qui donne : x > 0 (toujours vrai puisque x ≥ 5).

c) x + (x + 2) > x + 2
  (cette inégalité est identique à la précédente).

Les conditions du triangle sont donc satisfaites pour 5 ≤ x ≤ 12.

Conclusion : La longueur du côté BC est encadrée par :

  BC ∈ [5 cm ; 12 cm].