Question : On vous donne trois points : \(A(1;\, 0;\, 2)\), \(B(4;\, 4;\, 2)\) et \(C(1;\, 0;\, 6)\).
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
Le triangle ABC est rectangle en A, car le produit scalaire de AB et AC vaut 0.
Pour déterminer si le triangle ABC est rectangle, nous allons vérifier si l’un des angles du triangle est de 90°. Pour cela, on peut calculer les vecteurs reliant les sommets et chercher un produit scalaire nul (qui caractérise l’orthogonalité).
Étape 1 : Calculer les vecteurs
Nous avons les points : A(1, 0, 2) B(4, 4, 2) C(1, 0, 6)
Calculons le vecteur AB : AB = B – A = (4 – 1, 4 – 0, 2 – 2) = (3, 4, 0)
Calculons le vecteur AC : AC = C – A = (1 – 1, 0 – 0, 6 – 2) = (0, 0, 4)
Étape 2 : Utiliser le produit scalaire
Pour vérifier que l’angle en A est droit, on calcule le produit scalaire de AB et AC :
AB ∙ AC = (3 × 0) + (4 × 0) + (0 × 4) = 0
Le résultat est égal à 0, ce qui signifie que les vecteurs AB et AC sont perpendiculaires. Par conséquent, l’angle entre eux (angle en A) est de 90°.
Conclusion :
Le triangle ABC est rectangle en A.