Exercice 18

Question :

1. Exprime la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.

2. Exprime le périmètre d’un triangle rectangle isocèle en fonction de la longueur de l’un des côtés formant l’angle droit.

Réponse

1. h = (√3 × c)/2
   
2. P = l(2 + √2)

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des parties de l’exercice en détaillant toutes les étapes de raisonnement.

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Question a) Exprime la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.

1. Considérons un triangle équilatéral dont la longueur de chaque côté est notée c.

2. La hauteur se trouve en traçant une droite perpendiculaire depuis un sommet vers le côté opposé. Dans un triangle équilatéral, cette droite partage le côté opposé en deux segments égaux.

3. En traçant la hauteur, le triangle se découpe en deux triangles rectangles, qui sont des triangles 30°–60°–90°.

4. Dans un triangle rectangle 30°–60°–90°, les rapports des côtés sont connus : • Le côté opposé à l’angle de 30° vaut la moitié de l’hypoténuse. • Le côté opposé à l’angle de 60° (la hauteur que nous cherchons) vaut (√3)/2 fois l’hypoténuse.

5. Dans notre situation, l’hypoténuse du triangle rectangle est égale au côté c de l’équilatéral, et le côté opposé à 30° est la moitié de c, c’est-à-dire c/2. Ainsi, la hauteur h, qui est le côté opposé à 60°, s’exprime par :

   h = (√3)/2 × c

La hauteur du triangle équilatéral est donc égale à (√3 × c)/2.

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Question b) Exprime le périmètre d’un triangle rectangle isocèle en fonction de la longueur de l’un des côtés formant l’angle droit.

1. Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés qui forment l’angle droit sont de même longueur. Soit l la longueur de chacun de ces côtés.

2. Pour trouver le périmètre, il faut additionner les longueurs des trois côtés : les deux côtés égaux et l’hypoténuse.

3. Pour déterminer l’hypoténuse, on utilise le théorème de Pythagore. Ainsi, si les côtés de l’angle droit sont de longueur l, l’hypoténuse h est donnée par :

   h² = l² + l² = 2l²
   d’où h = l√2

4. Le périmètre P est donc la somme des deux côtés et de l’hypoténuse :

   P = l + l + l√2 = 2l + l√2

5. On peut aussi factoriser l pour obtenir :

   P = l(2 + √2)

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Réponses finales :

1. La hauteur du triangle équilatéral en fonction du côté c est : h = (√3 × c)/2.

2. Le périmètre du triangle rectangle isocèle en fonction de la longueur l d’un côté formant l’angle droit est : P = l(2 + √2).

Ces méthodes reposent sur des propriétés géométriques fondamentales et le théorème de Pythagore pour bien démontrer chaque étape.