Question : On considère le triangle \(DEF\) tel que \(DE = 8\,\text{cm}\), \(EF = 10\,\text{cm}\) et \(\widehat{DEF} = 100^{\circ}\). La hauteur issue de \(D\) coupe la droite \((EF)\) en \(G\).
Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{DGF}\).
Détermine la longueur \(GF\).
Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{DGE}\).
Détermine la longueur \(DG\).
Calcule l’aire du triangle \(DEF\).
On considère le triangle DEF dans lequel on connaît :
• DE = 8 cm
• EF = 10 cm
• L’angle à E, ∠DEF = 100°
On trace la hauteur issue de D qui coupe la droite (EF) en G. Par définition, cette hauteur est perpendiculaire à (EF). Pour simplifier la compréhension, nous allons placer le triangle dans un repère adapté.
────────────────────────────── 1. Mise en place d’un repère et repérage des points
Choisissons de placer le point E à l’origine (0 ; 0) et la droite (EF) sur l’axe des abscisses. Ainsi, le point F aura pour coordonnées (10 ; 0).
L’angle ∠DEF est de 100° ; cela signifie que, vu depuis E, la
demi-droite [ED] fait 100° avec [EF].
On a donc pour le point D les coordonnées données par la formule : D =
(DE × cos 100°, DE × sin 100°)
Mais rappelons que cos 100° = –cos 80° et sin 100° = sin 80° (car
100° et 80° sont supplémentaires dans ce cas de sinus).
Ainsi, D = (–8 cos 80°, 8 sin 80°).
────────────────────────────── 2. Détermination du point G (la projection de D sur (EF))
Comme (EF) est placé sur l’axe horizontal (l’axe des abscisses), la
hauteur issue de D (c’est-à-dire la droite passant par D perpendiculaire
à (EF)) est une droite verticale.
La projection verticale d’un point conserve son abscisse et a une
ordonnée nulle (puisqu’elle tombe sur l’axe horizontal).
Donc, le point G, qui est le pied de la perpendiculaire de D sur (EF), a
pour coordonnées : G = (–8 cos 80°, 0).
────────────────────────────── 3. Correction détaillée
Réponse a : ∠DGF = 90°.
────────────────────────────── (b) Détermination de la longueur
GF
• On connaît les coordonnées de G et F.
– G = (–8 cos 80°, 0)
– F = (10, 0)
• La distance GF sur l’axe horizontal est simplement la différence des
abscisses :
GF = xF – xG = 10 – (–8 cos 80°) = 10 + 8 cos 80°.
Pour une valeur approchée, en remarquant que cos 80° ≈ 0,17365
:
GF ≈ 10 + 8 × 0,17365 ≈ 10 + 1,3892 ≈ 11,39 cm.
Réponse b : GF = 10 + 8 cos 80° ≈ 11,39 cm.
────────────────────────────── (c) Calcul de l’angle ∠DGE
• Cet angle est en G et est formé par les segments [DG] et [GE].
• Nous avons vu que DG est vertical (hauteur) et que GE est le segment
qui relie G à E sur l’axe horizontal (puisque E = (0,0) et G = (–8
cos 80°, 0)).
• L’angle entre une droite verticale et une droite horizontale est de
90°.
Réponse c : ∠DGE = 90°.
────────────────────────────── (d) Détermination de la longueur
DG
• Dans le repère choisi, D a pour coordonnées (–8 cos 80°, 8 sin 80°)
et G a pour coordonnées (–8 cos 80°, 0).
• Le segment DG est vertical, donc sa longueur est la différence des
ordonnées :
DG = |8 sin 80° – 0| = 8 sin 80°.
En valeur approchée, sin 80° ≈ 0,98481, d’où
DG ≈ 8 × 0,98481 ≈ 7,88 cm.
Réponse d : DG = 8 sin 80° ≈ 7,88 cm.
────────────────────────────── (e) Calcul de l’aire du triangle
DEF
Deux méthodes sont possibles :
Méthode 1 – Utiliser la hauteur issue de D :
• On peut choisir (EF) comme base (longueur 10 cm) et DG comme
hauteur.
• L’aire se calcule par : Aire = ½ × base × hauteur = ½ × 10 × (8
sin 80°) = 40 sin 80°. • Approximativement, Aire ≈ 40 × 0,98481 ≈ 39,39
cm².
Méthode 2 – Utiliser la formule de l’aire en fonction de deux côtés
et de l’angle compris :
• Aire = ½ × DE × EF × sin(∠DEF)
• Sachant que sin 100° = sin 80° (puisque sin(180° – θ) = sin θ), on
a
Aire = ½ × 8 × 10 × sin 80° = 40 sin 80°, ce qui est cohérent avec
la Méthode 1.
Réponse e : Aire du triangle DEF = 40 sin 80° ≈ 39,39 cm².
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
a. ∠DGF = 90°
b. GF = 10 + 8 cos 80°, soit environ 11,39 cm
c. ∠DGE = 90°
d. DG = 8 sin 80°, soit environ 7,88 cm
e. Aire du triangle DEF = 40 sin 80°, soit environ 39,39 cm
Cette démarche permet de visualiser comment, à partir du positionnement du triangle et en utilisant des propriétés de géométrie (projection orthogonale et tronçons sur l’axe), nous pouvons déterminer les mesures demandées.