Exercice 14
Construire un triangle \(ABC\) tel que
\[ \overline{AB} = 9\,\mathrm{cm}, \quad \overline{BC} = 4\,\mathrm{cm}, \quad \overline{AC} = 7\,\mathrm{cm}. \]
Construire ensuite un triangle \(ABD\), rectangle en \(D\), de base \([AB]\) et de même aire que le triangle \(ABC\). Combien existe-t-il de solutions ?
Réponse
Il existe deux solutions pour construire le triangle \(ABD\) rectangle en \(D\) avec une base de 9 cm et une aire de \(6\sqrt{5}\) cm².
Corrigé détaillé
Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape afin de déterminer le nombre de solutions possibles pour la construction du triangle \(ABD\).
1. Calcul de l’aire du triangle \(ABC\)
Tout d’abord, calculons l’aire du triangle \(ABC\) dont les côtés mesurent : - \(AB = 9\,\mathrm{cm}\) - \(BC = 4\,\mathrm{cm}\) - \(AC = 7\,\mathrm{cm}\)
Utilisons la formule de Héron pour calculer l’aire d’un triangle lorsque l’on connaît les longueurs de ses trois côtés.
Étapes de calcul : 1. Calcul du demi-périmètre (\(s\)) : \[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{9 + 4 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10\,\mathrm{cm} \]
- Calcul de l’aire (\(A\)) : \[ A = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{10 \times (10 - 9) \times (10 - 4) \times (10 - 7)} \] \[ A = \sqrt{10 \times 1 \times 6 \times 3} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^2 \]
2. Construction du triangle \(ABD\) rectangle en \(D\)
Nous devons maintenant construire un triangle \(ABD\) qui : - A pour base \(AB = 9\,\mathrm{cm}\) - Est rectangle en \(D\) - A la même aire que le triangle \(ABC\), soit \(6\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^2\)
Dans un triangle rectangle, l’aire se calcule en fonction de la base et de la hauteur (qui, dans ce cas, est l’un des côtés adjacents à l’angle droit). Puisque le triangle est rectangle en \(D\), la hauteur correspondante à la base \(AB\) est la distance entre le point \(D\) et la base \(AB\).
Formule de l’aire d’un triangle rectangle : \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
Calcul de la hauteur nécessaire (\(h\)) : Nous connaissons l’aire désirée et la longueur de la base \(AB\). Nous pouvons donc exprimer \(h\) : \[ 6\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 9 \times h \] \[ h = \frac{2 \times 6\sqrt{5}}{9} = \frac{12\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{cm} \]
3. Détermination des positions possibles pour le point \(D\)
La hauteur \(h = \frac{4\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{cm}\) indique la distance perpendiculaire entre \(D\) et la base \(AB\). Pour construire un triangle rectangle en \(D\) avec cette hauteur :
- Position 1 : Le point \(D\) se trouve d’un côté de la base \(AB\).
- Position 2 : Le point \(D\) se trouve de l’autre côté de la base \(AB\).
Ces deux positions sont distinctes et respectent les conditions du problème.
4. Conclusion
Il existe deux solutions possibles pour la construction du triangle \(ABD\) rectangle en \(D\), ayant la même aire que le triangle \(ABC\) et une base de \(9\,\mathrm{cm}\).