Exercice 11

Dans le triangle rectangle \(ABC\) en \(C\), soit \(\overline{CH}\) la hauteur issue de \(C\). Calculer les longueurs des côtés de l’angle droit, sachant que \(\overline{AH} = 225\,\text{mm}\) et \(\overline{BH} = 64\,\text{mm}\).

Réponse

Les longueurs des côtés de l’angle droit du triangle \(ABC\) sont \(AC = 255\,\text{mm}\) et \(BC = 136\,\text{mm}\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer les longueurs des côtés de l’angle droit du triangle rectangle \(ABC\) en \(C\) en utilisant les propriétés des triangles rectangles et des hauteurs.

Données du problème

• Triangle rectangle \(ABC\) en \(C\).
• \(\overline{CH}\) est la hauteur issue de \(C\) sur l’hypoténuse \(\overline{AB}\).
• \(\overline{AH} = 225\,\text{mm}\).
• \(\overline{BH} = 64\,\text{mm}\).

Objectif

Calculer les longueurs des côtés de l’angle droit, c’est-à-dire \(\overline{AC}\) et \(\overline{BC}\).

Étapes de la résolution

1. Déterminer la longueur de l’hypoténuse \(\overline{AB}\)

L’hypoténuse \(\overline{AB}\) est composée des segments \(\overline{AH}\) et \(\overline{BH}\).

\[ \overline{AB} = \overline{AH} + \overline{BH} = 225\,\text{mm} + 64\,\text{mm} = 289\,\text{mm} \]

2. Utiliser la propriété des triangles rectangles concernant la hauteur

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l’angle droit (ici \(\overline{CH}\)) a une propriété particulière :

\[ \overline{AC}^2 = \overline{AB} \times \overline{AH} \] \[ \overline{BC}^2 = \overline{AB} \times \overline{BH} \]

Cette propriété découle du fait que la hauteur divise l’hypoténuse en deux segments proportionnels aux carrés des côtés adjacents.

3. Calculer \(\overline{AC}\)

Appliquons la formule :

\[ \overline{AC}^2 = \overline{AB} \times \overline{AH} = 289\,\text{mm} \times 225\,\text{mm} = 65\,025\,\text{mm}^2 \]

Pour trouver \(\overline{AC}\), nous prenons la racine carrée de \(65\,025\,\text{mm}^2\) :

\[ \overline{AC} = \sqrt{65\,025\,\text{mm}^2} = 255\,\text{mm} \]

4. Calculer \(\overline{BC}\)

De même, appliquons la formule pour \(\overline{BC}\) :

\[ \overline{BC}^2 = \overline{AB} \times \overline{BH} = 289\,\text{mm} \times 64\,\text{mm} = 18\,496\,\text{mm}^2 \]

Prenons la racine carrée de \(18\,496\,\text{mm}^2\) :

\[ \overline{BC} = \sqrt{18\,496\,\text{mm}^2} = 136\,\text{mm} \]

Conclusion

Les longueurs des côtés de l’angle droit du triangle \(ABC\) sont donc :

\[ \boxed{ \begin{aligned} \overline{AC} &= 255\,\text{mm} \\ \overline{BC} &= 136\,\text{mm} \end{aligned} } \]