Exercice 6

Les triangles \(ABC\) et \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) sont semblables.

  1. Dans le triangle \(ABC\), \(\overline{AB} = 3\,\text{cm}\), \(\overline{BC} = 5\,\text{cm}\) et \(\overline{AC} = 7\,\text{cm}\). Dans le triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\), \(\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 9\,\text{cm}\). Calculez \(\overline{B^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\overline{A^{\prime}C^{\prime}}\).

  2. Dans le triangle \(ABC\), \(\overline{AB} = 3,5\,\text{cm}\) et \(\overline{BC} = 4,3\,\text{cm}\). Dans le triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\), \(\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 7\,\text{cm}\) et \(\overline{A^{\prime}C^{\prime}} = 11\,\text{cm}\). Calculez \(\overline{B^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\overline{AC}\).

Réponse

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Exercice 1 : triangle A′B′C′ obtenu par agrandissement de facteur k = 3 donne B′C′ = 15 cm et A′C′ = 21 cm.

Exercice 2 : avec k = 2, on trouve B′C′ = 8,6 cm et AC = 5,5 cm.

Corrigé détaillé

Nous donnons ci-dessous la correction détaillée de l’exercice sur la similarité de triangles.

────────────────────────────── Exercice 1

Les deux triangles sont semblables avec la correspondance suivante : A ↔︎ A′, B ↔︎ B′, C ↔︎ C′.

  1. Dans le triangle ABC, on connaît :  • AB = 3 cm  • BC = 5 cm  • AC = 7 cm

Dans le triangle A′B′C′, on sait que A′B′ = 9 cm.

La relation de similarité nous permet de déterminer le coefficient de proportionnalité (facteur d’agrandissement). En effet, la longueur de A′B′ correspond à celle de AB, donc :

  Coefficient k = A′B′ / AB = 9 / 3 = 3

Cela signifie que toutes les longueurs du triangle A′B′C′ sont trois fois celles des longueurs correspondantes dans le triangle ABC.

• Pour trouver B′C′, qui correspond à BC :   B′C′ = k × BC = 3 × 5 = 15 cm

• Pour trouver A′C′, qui correspond à AC :   A′C′ = k × AC = 3 × 7 = 21 cm

────────────────────────────── Exercice 2

Dans cet exercice, la correspondance est également : A ↔︎ A′, B ↔︎ B′, C ↔︎ C′.

On donne dans le triangle ABC :  • AB = 3,5 cm  • BC = 4,3 cm Et on souhaite connaître AC (dont la correspondance est A′C′ dans le triangle A′B′C′).

Dans le triangle A′B′C′, on connaît :  • A′B′ = 7 cm  • A′C′ = 11 cm

  1. Calcul du coefficient de proportionnalité :

Puisque A′B′ correspond à AB, on a :

  Coefficient k = A′B′ / AB = 7 / 3,5 = 2

  1. Calcul de B′C′ :

B′C′ correspond au côté BC, donc :

  B′C′ = k × BC = 2 × 4,3 = 8,6 cm

  1. Calcul de AC :

La longueur A′C′ correspond à AC et on sait que :

  A′C′ = k × AC

On nous donne A′C′ = 11 cm. Ainsi, pour retrouver AC :

  AC = A′C′ / k = 11 / 2 = 5,5 cm

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses

Exercice 1 :  • B′C′ = 15 cm  • A′C′ = 21 cm

Exercice 2 :  • B′C′ = 8,6 cm  • AC = 5,5 cm

Cette méthode repose sur l’utilisation du coefficient de proportionnalité obtenu grâce à la relation entre les côtés correspondants des triangles semblables. Chaque longueur dans le second triangle se trouve en multipliant la longueur correspondante dans le premier triangle par ce coefficient.

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