Exercice 4

Placer dans un même système d’axes les points \(A(-2; 2)\), \(B(8; -2)\) et \(C(12; 6)\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
  2. On appelle \(M\) le point d’intersection des médianes du triangle \(ABC\). Déterminer les coordonnées de \(M\).
  3. Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des droites \(AM\), \(BM\) et \(CM\).

Réponse

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Aire du triangle = 48 u² ; centroïde M = (6 ; 2) ; équations : AM : y = 2, BM : y = –2x + 14, CM : y = (2/3)x – 2.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice étape par étape.

────────────────────────────── Exercice : Placer dans un même système d’axes les points A(–2; 2), B(8; –2) et C(12; 6).

Nous devons : 1) Calculer l’aire du triangle ABC. 2) Déterminer les coordonnées de M, le point d’intersection des médianes (le centre de gravité) du triangle. 3) Déterminer, pour chacune des droites passant par M et un sommet, la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite.

────────────────────────────── 1) Calcul de l’aire du triangle ABC

Pour calculer l’aire d’un triangle dont les sommets ont pour coordonnées A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C), nous pouvons utiliser la formule suivante :

  Aire = ½ |x_A (y_B – y_C) + x_B (y_C – y_A) + x_C (y_A – y_B)|

Les coordonnées de nos points sont :   A(–2, 2), B(8, –2) et C(12, 6).

Appliquons la formule :

  Aire = ½ |(–2) × ((–2) – 6) + 8 × (6 – 2) + 12 × (2 – (–2))|

Calculons chaque terme :

• Le premier terme : (–2) × ((–2) – 6)   = (–2) × (–8)   = 16

• Le deuxième terme : 8 × (6 – 2)   = 8 × 4   = 32

• Le troisième terme : 12 × (2 – (–2))   = 12 × (2 + 2)   = 12 × 4   = 48

Additionnons ces valeurs :

  16 + 32 + 48 = 96

On applique ensuite la valeur absolue (ici le nombre est déjà positif) et on multiplie par ½ :

  Aire = ½ × 96 = 48

Ainsi, l’aire du triangle ABC est 48 unités².

────────────────────────────── 2) Coordonnées du point d’intersection des médianes (point M)

Le point d’intersection des médianes d’un triangle, appelé centroïde (ou centre de gravité), se trouve en faisant la moyenne des coordonnées de ses sommets. La formule est la suivante :

  M(x_M, y_M) = ((x_A + x_B + x_C) / 3; (y_A + y_B + y_C) / 3)

Calculons :

• Pour l’abscisse :   x_M = (–2 + 8 + 12) / 3 = (18) / 3 = 6

• Pour l’ordonnée :   y_M = (2 + (–2) + 6) / 3 = (6) / 3 = 2

Le point M a donc pour coordonnées (6; 2).

────────────────────────────── 3) Calcul de la pente, de l’ordonnée à l’origine et de l’équation des droites AM, BM et CM

Nous utilisons la formule de la pente pour deux points P(x₁, y₁) et Q(x₂, y₂) :

  pente m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Ensuite, l’équation d’une droite sous forme « y = m x + b » se trouve en déterminant l’ordonnée à l’origine b.

────────────────────────────── Droite AM (passant par A(–2; 2) et M(6; 2))

  1. Calcul de la pente :   m_AM = (y_M – y_A) / (x_M – x_A) = (2 – 2) / (6 – (–2)) = 0 / 8 = 0

La pente vaut 0, cela signifie que la droite est horizontale.

  1. Équation de la droite : Pour une droite horizontale, la fonction reste constante égale à l’ordonnée du point. Ici, y = 2.

On peut également déduire l’ordonnée à l’origine : b = 2.

Donc, pour la droite AM :   Pente m = 0, Ordonnée à l’origine b = 2 et Équation : y = 2.

────────────────────────────── Droite BM (passant par B(8; –2) et M(6; 2))

  1. Calcul de la pente :   m_BM = (y_M – y_B) / (x_M – x_B) = (2 – (–2)) / (6 – 8) = (4) / (–2) = –2

  2. Détermination de l’ordonnée à l’origine et de l’équation : Utilisons la formule point-pente avec le point M(6; 2) :   y – 2 = –2 (x – 6) Développons :   y – 2 = –2x + 12 Ensuite, isolons y :   y = –2x + 12 + 2   y = –2x + 14

L’ordonnée à l’origine est donc 14.

Pour la droite BM :   Pente m = –2, Ordonnée à l’origine b = 14 et Équation : y = –2x + 14.

────────────────────────────── Droite CM (passant par C(12; 6) et M(6; 2))

  1. Calcul de la pente :   m_CM = (y_M – y_C) / (x_M – x_C) = (2 – 6) / (6 – 12) = (–4) / (–6) = 2/3

  2. Détermination de l’ordonnée à l’origine et de l’équation : Utilisons la formule point-pente avec le point M(6; 2) :   y – 2 = (2/3)(x – 6) Développons l’équation :   y – 2 = (2/3)x – (2/3)×6   y – 2 = (2/3)x – 4 Isolons y :   y = (2/3)x – 4 + 2   y = (2/3)x – 2

L’ordonnée à l’origine est donc –2.

On obtient pour la droite CM :   Pente m = 2/3, Ordonnée à l’origine b = –2 et Équation : y = (2/3)x – 2.

────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :

  1. Aire du triangle ABC = 48 unités².

  2. Coordonnées du centroïde (intersection des médianes) M = (6; 2).

  3. • Droite AM : Pente m = 0   Ordonnée à l’origine = 2   Équation : y = 2. • Droite BM : Pente m = –2   Ordonnée à l’origine = 14  Équation : y = –2x + 14. • Droite CM : Pente m = 2/3  Ordonnée à l’origine = –2  Équation : y = (2/3)x – 2.

Cette correction permet de comprendre comment utiliser les formules géométriques fondamentales pour calculer l’aire d’un triangle, trouver le centre de gravité et déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points.

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