Exercice 3

Placer les points \(A(2, 3)\) et \(B(11, 3)\) dans un système de coordonnées.

Tracer la droite \(d\) d’équation \(y = 9\).
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(C\) du triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), sachant que \(C\) appartient à la droite \(d\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(AC\).

Réponse

Résumé des réponses

Droite \(d\) : Droite horizontale d’équation \(y = 9\).
Point \(C\) : Coordonnées \((2, 9)\).
Aire du triangle \(ABC\) : \(27\) unités carrées.
Droite \(AC\) :
- Pente : Non définie (droite verticale).
- Équation : \(x = 2\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question : Placer les points \(A(2, 3)\) et \(B(11, 3)\) dans un système de coordonnées.

Tracer la droite \(d\) d’équation \(y = 9\).
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(C\) du triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), sachant que \(C\) appartient à la droite \(d\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(AC\).

1. Tracer la droite \(d\) d’équation \(y = 9\)

Étape 1 : Comprendre l’équation de la droite

L’équation \(y = 9\) indique que, pour tout point sur la droite \(d\), la coordonnée verticale (\(y\)) est toujours égale à \(9\), indépendamment de la coordonnée horizontale (\(x\)).

Étape 2 : Choisir deux points pour tracer la droite

Pour tracer une droite, il suffit de déterminer deux points qui lui appartiennent.

Pour \(x = 0\), on a le point \((0, 9)\).
Pour \(x = 5\), on a le point \((5, 9)\).

Étape 3 : Tracer la droite

En plaçant ces deux points dans le système de coordonnées et en les reliant par une droite droite et horizontale, on obtient la droite \(d\) d’équation \(y = 9\).

2. Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(C\) du triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), sachant que \(C\) appartient à la droite \(d\)

Étape 1 : Analyser la position des points \(A\) et \(B\)

Les points \(A(2, 3)\) et \(B(11, 3)\) ont la même coordonnée \(y = 3\). Cela signifie que le segment \(AB\) est horizontal.

Étape 2 : Identifier la forme du triangle \(ABC\)

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), ce qui signifie que les côtés \(AB\) et \(AC\) forment un angle droit en \(A\).

Étape 3 : Déterminer la direction du côté \(AC\)

Comme \(AB\) est horizontal, le côté \(AC\) doit être vertical pour former un angle droit avec \(AB\). Une droite verticale a une coordonnée \(x\) constante.

Étape 4 : Déterminer les coordonnées de \(C\)

Puisque \(AC\) est vertical et passe par \(A(2, 3)\), la coordonnée \(x\) de \(C\) est également \(2\). De plus, comme \(C\) appartient à la droite \(d\) d’équation \(y = 9\), sa coordonnée \(y\) est \(9\).

Conclusion :

Les coordonnées du point \(C\) sont \((2, 9)\).

3. Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du triangle \(ABC\)

Étape 1 : Calculer les longueurs des côtés \(AB\) et \(AC\)

Longueur de \(AB\) :

Les points \(A(2, 3)\) et \(B(11, 3)\) ont la même coordonnée \(y\), donc :

\[ AB = |11 - 2| = 9 \text{ unités} \]

Longueur de \(AC\) :

Les points \(A(2, 3)\) et \(C(2, 9)\) ont la même coordonnée \(x\), donc :

\[ AC = |9 - 3| = 6 \text{ unités} \]

Étape 2 : Calculer l’aire du triangle \(ABC\)

L’aire \(A\) d’un triangle rectangle se calcule en multipliant la longueur de la base par la hauteur et en divisant par deux. Ici, \(AB\) est la base et \(AC\) est la hauteur.

\[ A = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 \]

Conclusion :

L’aire du triangle \(ABC\) est de \(27\) unités carrées.

4. Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(AC\)

Étape 1 : Identifier les coordonnées des points \(A\) et \(C\)

\(A(2, 3)\)
\(C(2, 9)\)

Étape 2 : Calculer la pente de la droite \(AC\)

La pente \(m\) d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est donnée par :

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Appliquons les coordonnées de \(A\) et \(C\) :

\[ m = \frac{9 - 3}{2 - 2} = \frac{6}{0} \]

Comme la division par zéro n’est pas possible, cela signifie que la pente n’a pas de valeur numérique définie. En géométrie, une droite dont la pente n’est pas définie est une droite verticale.

Étape 3 : Déterminer l’équation de la droite \(AC\)

Pour une droite verticale passant par le point \(A(2, 3)\), l’équation est simplement :

\[ x = 2 \]

Étape 4 : Ordonnée à l’origine

Les droites verticales n’ont pas d’ordonnée à l’origine, car elles ne croisent pas l’axe des \(y\).

Résumé :

Pente de \(AC\) : La pente n’est pas définie (droite verticale).
Ordonnée à l’origine : Non applicable.
Équation de la droite \(AC\) : \(x = 2\).

Résumé des réponses

Traçage de la droite \(d\) : Droite horizontale passant par \(y = 9\).
Coordonnées de \(C\) : \((2, 9)\).
Aire du triangle \(ABC\) : \(27\) unités carrées.
Droite \(AC\) :
- Pente : Non définie (droite verticale).
- Ordonnée à l’origine : Non applicable.
- Équation : \(x = 2\).