Exercices corrigés sur les triangles - 11e
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Exercice 1
Difficulté : 40/100
Dessine trois segments \(OD\), \(OE\) et \(OF\) de même longueur tels que : \[ \widehat{DOE} = 100^\circ, \quad \widehat{EOF} = 30^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{DOF} = 110^\circ. \] Calcule la valeur des angles du triangle \(DEF\).
Angles isométriques
Exercice 2
Difficulté : 30/100
Unité : le cm
\(O\) est le centre du cercle.
\(AO \perp DC\)
- Montrer que le triangle \(ACD\) est isocèle.
- Montrer que les triangles \(ABC\), \(FDA\), \(FCA\) et \(ACE\) sont semblables.
- Sachant que \(\overline{AB} = 150\) et \(\overline{AC} = 180\), calculer \(\overline{CF}\), \(\overline{AE}\), \(\overline{OF}\) et \(\overline{DE}\).
Exercice 3
Difficulté : 40/100
Placer les points \(A(2, 3)\) et \(B(11, 3)\) dans un système de coordonnées.
- Tracer la droite \(d\) d’équation \(y = 9\).
- Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(C\) du triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), sachant que \(C\) appartient à la droite \(d\).
- Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
- Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(AC\).
Exercice 4
Difficulté : 30/100
Placer dans un même système d’axes les points \(A(-2; 2)\), \(B(8; -2)\) et \(C(12; 6)\).
- Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
- On appelle \(M\) le point d’intersection des médianes du triangle \(ABC\). Déterminer les coordonnées de \(M\).
- Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des droites \(AM\), \(BM\) et \(CM\).
Exercice 5
Difficulté : 35/100
- Montrer que les angles correspondants des triangles \(ABC\) et \(FDE\) sont égaux.
- Quel est le côté du triangle \(FDE\) correspondant à
- \(AB\) ?
- \(BC\) ?
- \(AC\) ?
Exercice 6
Difficulté : 45/100
Les triangles \(ABC\) et \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) sont semblables.
Dans le triangle \(ABC\), \(\overline{AB} = 3\,\text{cm}\), \(\overline{BC} = 5\,\text{cm}\) et \(\overline{AC} = 7\,\text{cm}\). Dans le triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\), \(\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 9\,\text{cm}\). Calculez \(\overline{B^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\overline{A^{\prime}C^{\prime}}\).
Dans le triangle \(ABC\), \(\overline{AB} = 3,5\,\text{cm}\) et \(\overline{BC} = 4,3\,\text{cm}\). Dans le triangle \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\), \(\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 7\,\text{cm}\) et \(\overline{A^{\prime}C^{\prime}} = 11\,\text{cm}\). Calculez \(\overline{B^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\overline{AC}\).
Exercice 7
Difficulté : 50/100
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(C\). \(DBF\) est un triangle rectangle en \(F\).
Montrer que les triangles \(AEF\) et \(DBF\) sont semblables.
Exercice 8
Difficulté : 40/100
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). \(DEFG\) est un carré inscrit dans ce triangle.
Montrer que les triangles \(BDG\) et \(FEC\) sont semblables.
En déduire que \(\overline{DG}^{2} = \overline{BD} \cdot \overline{EC}\).
Exercice 9
Difficulté : 60/100
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). Soit \(DEFG\) un carré inscrit dans ce triangle. Sachant que \(\overline{GF} = 6\) et \(\overline{BD} = 8\), calculez l’aire de la surface ombragée.
Exercice 10
Difficulté : 30/100
Les longueurs suivantes sont données :
- \(\overline{HB} = 27\)
- \(\overline{AH} = 36\)
Calculez \(\overline{AB}\), \(\overline{CH}\), \(\overline{BC}\) et \(\overline{AC}\).
Exercice 11
Difficulté : 40/100
Dans le triangle rectangle \(ABC\) en \(C\), soit \(\overline{CH}\) la hauteur issue de \(C\). Calculer les longueurs des côtés de l’angle droit, sachant que \(\overline{AH} = 225\,\text{mm}\) et \(\overline{BH} = 64\,\text{mm}\).
Exercice 12
Difficulté : 60/100
Le triangle \(ABG\) est isocèle en \(G\) (\(AG = BG\)). On a \(AB = 111\), \(DC = 45\), \(CF = 56\) et \(DC \parallel AB\).
Montrer que les triangles \(AEF\) et \(BFC\) sont semblables.
Calculer le périmètre du quadrilatère \(CDEF\).
Exercice 13
Difficulté : 40/100
Calculer la longueur \(x\), sachant que :
\(a = 12\)
\(b = 40\)
\(c = 10\)
Exercice 14
Difficulté : 50/100
Construire un triangle \(ABC\) tel que
\[ \overline{AB} = 9\,\mathrm{cm}, \quad \overline{BC} = 4\,\mathrm{cm}, \quad \overline{AC} = 7\,\mathrm{cm}. \]
Construire ensuite un triangle \(ABD\), rectangle en \(D\), de base \([AB]\) et de même aire que le triangle \(ABC\). Combien existe-t-il de solutions ?
Exercice 15
Difficulté : 40/100
Montrer que les triangles \(ABE\) et \(ADC\) sont semblables.
Montrer que
\[ \overline{AB} \cdot \overline{AC} = \overline{AD} \cdot \overline{AE}. \]
Exercice 16
Difficulté : 40/100
Montrer que les triangles \(ABD\) et \(ACE\) sont semblables.
Montrer que
\[ \overline{AB} \cdot \overline{AE} = \overline{AC} \cdot \overline{AD}. \]
Exercice 17
Difficulté : 65/100
Question : On considère le triangle \(DEF\) tel que \(DE = 8\,\text{cm}\), \(EF = 10\,\text{cm}\) et \(\widehat{DEF} = 100^{\circ}\). La hauteur issue de \(D\) coupe la droite \((EF)\) en \(G\).
Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{DGF}\).
Détermine la longueur \(GF\).
Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{DGE}\).
Détermine la longueur \(DG\).
Calcule l’aire du triangle \(DEF\).
Exercice 18
Difficulté : 50/100
Question :
Exprime la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.
Exprime le périmètre d’un triangle rectangle isocèle en fonction de la longueur de l’un des côtés formant l’angle droit.
Exercice 19
Difficulté : 45/100
Question : On vous donne trois points : \(A(1;\, 0;\, 2)\), \(B(4;\, 4;\, 2)\) et \(C(1;\, 0;\, 6)\).
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
Exercice 20
Difficulté : 40/100
\(ABC\) est un triangle isocèle avec \(\overline{AB} = \overline{AC}\). On sait que \(\overline{AB}\) est supérieur de 2 cm à \(\overline{BC}\). De plus, le périmètre du triangle satisfait \(19\,\text{cm} \leq \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} \leq 40\,\text{cm}\). Encadrez au mieux la longueur du côté \(\overline{BC}\).
Exercice 21
Difficulté : 30/100
Dans le triangle \(ABC\), la base \(\overline{AB}\) mesure 23 cm et la hauteur \(\overline{CD}\) mesure 6 cm. Calculez la pente de \(\overline{BC}\) sachant que la pente de \(\overline{AC}\) est de \(40\,\%\).
Exercice 22
Difficulté : 20/100
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Calculez la mesure des angles \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) et justifiez votre réponse.
Exercice 23
Difficulté : 50/100
Montrer que, dans un parallélogramme \(ABCD\), les triangles \(ABC\) et \(CDA\) sont semblables.
Exercice 24
Difficulté : 50/100
Construisez un triangle isocèle \(ABC\) tel que \(\overline{AB} = \overline{AC}\). Les bissectrices des angles en \(B\) et \(C\) coupent respectivement les côtés \(AC\) et \(AB\) en \(X\) et \(Y\). Montrez que les triangles \(ABX\) et \(ACY\) sont semblables.
Exercice 25
Difficulté : 65/100
\(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et en \(D\). Ses diagonales se coupent à angle droit en \(P\). Montrer que les triangles \(APB\), \(DPA\) et \(CPD\) sont semblables.
Exercice 26
Difficulté : 50/100
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\). Les côtés de l’angle droit mesurent 36 cm et 48 cm. Calculer la longueur du côté du carré inscrit.
Exercice 27
Difficulté : 50/100
ABC est un triangle rectangle en A. [AH] est la hauteur issue de A. Montrer que
- \(\triangle ABC \cong \triangle HBA\)
- \(\triangle ABC \cong \triangle HAC\)
- \(\triangle HBA \cong \triangle HAC\)
\[ \begin{aligned} \overline{BH} &= 18 \\ \overline{BC} &= 30 \end{aligned} \]
Calculer \(\overline{CH}\), \(\overline{AH}\) et \(\overline{AC}\).
Exercice 28
Difficulté : 30/100
Soit un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\). Sachant que \(\overline{AB} = 17,5 \,\mathrm{cm}\) et \(\overline{AC} = 60 \,\mathrm{cm}\), calculer la longueur de la hauteur issue du sommet \(A\).
Exercice 29
Difficulté : 40/100
\(ABCD\) est un parallélogramme. Montrer que les triangles \(ABE\) et \(FDA\) sont semblables.
Exercice 30
Difficulté : 15/100
Évaluez les affirmations suivantes :
Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre du cercle circonscrit.
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également une hauteur.
Exercice 31
Difficulté : 50/100
Placer les points \(A(1 ; -2)\), \(B(9 ; 2)\) et \(C(4 ; 7)\) dans un même système d’axes. Déterminer graphiquement les coordonnées de l’orthocentre du triangle \(ABC\).
Exercice 32
Difficulté : 40/100
Les côtés d’un triangle mesurent \(56\ \text{cm}\), \(39\ \text{cm}\) et \(25\ \text{cm}\). Calculer l’aire de ce triangle.
Indice : Calculez la hauteur relative au côté de 56 cm.
Exercice 33
Difficulté : 10/100
Question : Dans un triangle isocèle, on sait que l’angle au sommet est égal au triple de chacun des angles à la base.
Quelle est la mesure de chacun des trois angles ?
Exercice 34
Difficulté : 40/100
Question :
Calculez la longueur de la base d’un triangle dont la hauteur est de 5 cm et l’aire est de \(15\,\mathrm{cm}^{2}\).
Un triangle équilatéral a un périmètre de \(12\,\mathrm{cm}\) et une aire d’environ \(6,2\,\mathrm{cm}^{2}\). Calculez sa hauteur.
Exercice 35
Difficulté : 30/100
Soit un triangle équilatéral de côté \(c\).
- Exprimez par un nombre exact le rapport de la longueur de sa hauteur à la longueur de son côté.
- Combien mesure la hauteur d’un triangle équilatéral de \(20\,\text{cm}\) de côté ?
Exercice 36
Difficulté : 10/100
Déterminez la longueur du côté d’un triangle équilatéral dont la hauteur est de 6 cm.
Exercice 37
Difficulté : 60/100
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\).
\(DEFG\) est un rectangle inscrit dans ce triangle.
\(\overline{BD} = 48\), \(\overline{DG} = 36\), \(\overline{GF} = 20\).
Calculer \(\overline{BG}\), \(\overline{AG}\), \(\overline{AF}\), \(\overline{CF}\), \(\overline{EC}\).
Exercice 38
Difficulté : 60/100
Question :
DEF est un triangle rectangle en \(E\) tel que \(\mathrm{DE} = 10\,\mathrm{cm}\) et \(\widehat{\mathrm{EDF}} = 45^{\circ}\).
Construis la figure à l’échelle réelle.
Soit \(K\) le pied de la hauteur issue de \(E\). Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([\mathrm{DK}]\), arrondie au millimètre.
Calcule, en centimètres, la longueur du segment \([EF]\), arrondie au millimètre.
Exercice 39
Difficulté : 30/100
Question : Quelle est la longueur des deux côtés isométriques \(DE\) et \(DF\) du triangle isocèle \(DEF\) si son périmètre est de 30 m ?
Exercice 40
Difficulté : 50/100
\(\overline{AB} \perp \overline{BC}\)
\(\overline{ED} \parallel \overline{BC}\) et \(\overline{DF} \parallel \overline{AB}\)
\(\overline{AC} = 39\), \(\overline{AB} = 15\), \(\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AC}} = \dfrac{1}{3}\)
Calculer le périmètre du triangle \(EDF\).