Exercice 23

Exercice :

  1. Construis \(B^{\prime}\) et \(E^{\prime}\), images de \(B\) et \(E\) par la rotation de centre \(O\), d’angle \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

  2. Construis \(A^{\prime}\), \(C^{\prime}\) et \(F^{\prime}\), images de \(A\), \(C\) et \(F\) par la rotation de centre \(O\), d’angle \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre.

  3. Décris la rotation permettant d’affirmer :

Réponse

Résumé de la correction :

  1. Construction de \(B^{\prime}\) et \(E^{\prime}\)
    Rotation de \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de \(O\).

  2. Construction de \(A^{\prime}\), \(C^{\prime}\) et \(F^{\prime}\)
    Rotation de \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre autour de \(O\).

  3. Vérifications des images
    \(A^{\prime}\) est l’image de \(C^{\prime}\) et \(E^{\prime}\) est l’image de \(B^{\prime}\) par les rotations respectives.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons aborder chaque partie de l’exercice étape par étape en expliquant comment effectuer les rotations demandées.

a. Construction de \(B^{\prime}\) et \(E^{\prime}\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Étapes à suivre :

  1. Identifier le centre et l’angle de rotation :
    • Le centre de rotation est le point \(O\).
    • L’angle de rotation est \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
  2. Construire \(B^{\prime}\) à partir de \(B\) :
    • Tracez le segment \(OB\).
    • À partir de \(O\), utilisez un rapporteur pour mesurer un angle de \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du segment \(OB\).
    • Marquez ce nouveau point comme \(B^{\prime}\).
  3. Construire \(E^{\prime}\) à partir de \(E\) :
    • Tracez le segment \(OE\).
    • À partir de \(O\), mesurez un angle de \(60^{\circ}\) dans le même sens de rotation.
    • Le point obtenu est \(E^{\prime}\).

Illustration des étapes :

  1. Tracer le point \(O\).
  2. Tracer les segments \(OB\) et \(OE\).
  3. À partir de \(OB\), mesurer un angle de \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre pour trouver \(B^{\prime}\).
  4. Répéter la même procédure à partir de \(OE\) pour trouver \(E^{\prime}\).
b. Construction de \(A^{\prime}\), \(C^{\prime}\) et \(F^{\prime}\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre

Étapes à suivre :

  1. Identifier le centre et l’angle de rotation :
    • Le centre de rotation est le point \(O\).
    • L’angle de rotation est \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre.
  2. Construire \(A^{\prime}\) à partir de \(A\) :
    • Tracez le segment \(OA\).
    • À partir de \(O\), mesurez un angle de \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre à partir du segment \(OA\).
    • Marquez ce nouveau point comme \(A^{\prime}\).
  3. Construire \(C^{\prime}\) à partir de \(C\) :
    • Tracez le segment \(OC\).
    • Répétez le processus de rotation de \(90^{\circ}\) dans le même sens pour obtenir \(C^{\prime}\).
  4. Construire \(F^{\prime}\) à partir de \(F\) :
    • Tracez le segment \(OF\).
    • Appliquez la même rotation pour obtenir \(F^{\prime}\).

Illustration des étapes :

  1. Tracer le point \(O\).
  2. Tracer les segments \(OA\), \(OC\) et \(OF\).
  3. À partir de chaque segment, mesurer un angle de \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre pour trouver \(A^{\prime}\), \(C^{\prime}\) et \(F^{\prime}\) respectivement.
c. Description des rotations permettant d’affirmer :
1. \(A^{\prime}\) est l’image de \(C^{\prime}\)

Raisonnement :

Pour que \(A^{\prime}\) soit l’image de \(C^{\prime}\) par une rotation, il faut identifier une rotation qui envoie \(C^{\prime}\) sur \(A^{\prime}\).

Étapes à suivre :

  1. Déterminer l’angle de rotation :
    • Étant donné que les rotations précédentes ont été de \(90^{\circ}\), il est probable que la rotation entre \(C^{\prime}\) et \(A^{\prime}\) soit également un multiple de ces angles.
  2. Choisir le sens de rotation :
    • Si la rotation est dans le sens des aiguilles d’une montre ou inverse.
  3. Conclusion :
    • Si une rotation de \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre envoie \(C^{\prime}\) sur \(A^{\prime}\), alors \(A^{\prime}\) est l’image de \(C^{\prime}\) par cette rotation.

Formulation :

La rotation de centre \(O\), d’angle \(90^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre, envoie \(C^{\prime}\) sur \(A^{\prime}\). Ainsi, \(A^{\prime}\) est l’image de \(C^{\prime}\) par cette rotation.

2. \(E^{\prime}\) est l’image de \(B^{\prime}\)

Raisonnement :

De manière similaire, pour que \(E^{\prime}\) soit l’image de \(B^{\prime}\), il faut déterminer la rotation qui envoie \(B^{\prime}\) sur \(E^{\prime}\).

Étapes à suivre :

  1. Identifier la rotation utilisée précédemment :
    • Dans la partie a, nous avons effectué une rotation de \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
  2. Appliquer cette rotation à \(B^{\prime}\) :
    • Si la même rotation envoie \(B^{\prime}\) sur \(E^{\prime}\), alors c’est la rotation recherchée.

Formulation :

La rotation de centre \(O\), d’angle \(60^{\circ}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, envoie \(B^{\prime}\) sur \(E^{\prime}\). Ainsi, \(E^{\prime}\) est l’image de \(B^{\prime}\) par cette rotation.

Résumé :

Ce type de rotation permet de comprendre comment les points se déplacent autour d’un centre donné en fonction de l’angle et du sens choisis.

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