Question :
Élise a construit un rectangle \(WXYZ\), puis :
Elle compare ensuite les aires des quadrilatères \(WXYZ\) et \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\) et s’étonne du résultat. Pourquoi ?
Réponse :
Les aires des deux quadrilatères sont égales car les symétries centrales préservent longueurs et angles, rendant les quadrilatères congruents.
Correction détaillée :
Pour répondre à la question, analysons étape par étape les constructions réalisées par Élise et calculons les aires des quadrilatères \(WXYZ\) et \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\).
Élise commence par construire un rectangle \(WXYZ\). Par définition, un rectangle a : - Quatre angles droits. - Deux côtés opposés de même longueur.
Supposons que : - \(WX = a\) - \(XY = b\)
Ainsi, l’aire du rectangle \(WXYZ\) est donnée par : \[ \text{Aire}_{WXYZ} = a \times b \]
Élise construit ensuite les points symétriques par rapport à certains sommets du rectangle.
\(W^{\prime}\), symétrique de \(W\) par rapport à \(X\) : La symétrie centrale par rapport à \(X\) signifie que \(X\) est le milieu du segment \(WW^{\prime}\). Ainsi : \[ W^{\prime} \text{ est à la même distance de } X \text{ que } W, \text{ mais de l'autre côté.} \]
\(X^{\prime}\), symétrique de \(X\) par rapport à \(Y\) : De même, \(Y\) est le milieu de \(XX^{\prime}\), donc : \[ X^{\prime} \text{ est à la même distance de } Y \text{ que } X, \text{ mais de l'autre côté.} \]
\(Y^{\prime}\), symétrique de \(Y\) par rapport à \(Z\) : Ici, \(Z\) est le milieu de \(YY^{\prime}\), donc : \[ Y^{\prime} \text{ est à la même distance de } Z \text{ que } Y, \text{ mais de l'autre côté.} \]
\(Z^{\prime}\), symétrique de \(Z\) par rapport à \(W\) : Enfin, \(W\) est le milieu de \(ZZ^{\prime}\), donc : \[ Z^{\prime} \text{ est à la même distance de } W \text{ que } Z, \text{ mais de l'autre côté.} \]
Après ces symétries, Élise obtient le quadrilatère \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\). Observons les propriétés de ce quadrilatère :
Symétrie et congruence : Chaque point \(W^{\prime}, X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\) est obtenu par une symétrie centrale par rapport à un sommet du rectangle \(WXYZ\). Les symétries centrales conservent les longueurs et les angles. Ainsi, le quadrilatère \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\) est congruent au rectangle \(WXYZ\).
Aire du quadrilatère \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\) : Puisque \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\) est congruent à \(WXYZ\), leur aire est identique : \[ \text{Aire}_{W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}} = a \times b = \text{Aire}_{WXYZ} \]
Élise s’étonne que les aires des deux quadrilatères soient les mêmes. Cela s’explique par le fait que les symétries centrales utilisées pour construire \(W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}\) préservent les longueurs et les angles du rectangle initial \(WXYZ\), rendant ainsi les deux quadrilatères congruents et donc de mêmes aires.
\[ \boxed{\text{Les aires des deux quadrilatères sont égales car les symétries centrales préservent les longueurs et les angles, rendant les quadrilatères congruents.}} \]