Exercice 19

Question : On considère un quadrilatère \(PQRS\). Par une translation qui envoie le point \(P\) sur \(S\), les points \(Q\) et \(R\) sont envoyés respectivement sur \(T\) et \(U\).

  1. Tracez la figure.

  2. Reproduisez cette figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et comparez les aires des quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\).

  3. Quelle est la nature des quadrilatères \(SQTP\) et \(PSUR\) ? Justifiez.

  4. Quelle est l’image du triangle \(PQR\) par la translation qui envoie \(P\) sur \(S\) ?

  5. Comparez les aires des triangles \(PSU\) et \(TQU\) d’une part, et des triangles \(SQT\) et \(SPT\) d’autre part.

  6. Comparez les aires des triangles \(PQR\) et \(SUR\).

  7. Justifiez votre réponse à la question b.

Réponse

Résumé de la correction :

Après application de la translation de vecteur \(\overrightarrow{PS} = (1, 3)\), les quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\) sont des parallélogrammes de même aire. L’image du triangle \(PQR\) est le triangle \(SUR\). De plus, les aires des triangles \(PSU\) et \(TQU\), ainsi que celles des triangles \(SQT\) et \(SPT\), sont égales. La translation conserve ainsi les aires des figures géométriques impliquées.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice sur le quadrilatère \(PQRS\)

Nous allons aborder chaque partie de l’exercice de manière détaillée afin de bien comprendre les concepts géométriques impliqués.

a. Tracez la figure.

Correction :

Pour tracer le quadrilatère \(PQRS\) et la translation associée, suivez les étapes ci-dessous :

  1. Tracer le quadrilatère \(PQRS\) :
    • Choisissez un système de coordonnées ou une feuille de papier quadrillé pour faciliter le tracé.
    • Placez les points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\) de manière à former un quadrilatère. Par exemple :
      • \(P(0,0)\)
      • \(Q(4,0)\)
      • \(R(5,3)\)
      • \(S(1,3)\)
    • Reliez les points dans l’ordre \(P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P\) pour former le quadrilatère.
  2. Effectuer une translation qui envoie \(P\) sur \(S\) :
    • La translation \(\vec{u}\) est déterminée par le vecteur \(\overrightarrow{PS}\).
    • Calculons les composantes du vecteur \(\overrightarrow{PS}\) : \[ \overrightarrow{PS} = (S_x - P_x, S_y - P_y) = (1 - 0, 3 - 0) = (1, 3) \]
    • Appliquez ce vecteur à chaque point du quadrilatère pour obtenir les images :
      • \(P\) est envoyé sur \(S\).
      • \(Q\) est envoyé sur \(T = Q + \overrightarrow{PS} = (4+1, 0+3) = (5,3)\).
      • \(R\) est envoyé sur \(U = R + \overrightarrow{PS} = (5+1, 3+3) = (6,6)\).
  3. Tracer les points \(T\) et \(U\) et les relier :
    • Placez les points \(T(5,3)\) et \(U(6,6)\) sur le plan.
    • Reliez entre eux pour former le quadrilatère image après translation \(QTUS\).
  4. Relier les points pour visualiser les quadrilatères originaux et traduits :
    • Vous devriez obtenir les quadrilatères \(PQRS\) et \(QTUS\) ainsi que le vecteur de translation entre eux.

Remarque : L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra facilitera grandement ce tracé et permettra de visualiser précisément les translations.

b. Reproduisez cette figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et comparez les aires des quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\).

Correction :

  1. Reproduction à l’aide d’un logiciel :
    • Utilisez un logiciel tel que GeoGebra pour tracer les quadrilatères \(PQRS\) et \(QTUS\).
    • Appliquez la translation définie précédemment pour déplacer les points \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) en \(S\), \(T\), \(U\) respectivement.
  2. Calcul des aires :
    • Le quadrilatère \(QTUS\) est l’image de \(PQRS\) par une translation.
    • La translation étant une isométrie, elle conserve les mesures telles que les longueurs et les aires.
  3. Conclusion :
    • Les aires des quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\) sont égales. \[ \text{Aire}(QTUS) = \text{Aire}(PQRS) \]
c. Quelle est la nature des quadrilatères \(SQTP\) et \(PSUR\) ? Justifiez.

Correction :

  1. Quadrilatère \(SQTP\) :
    • Observons les points :
      • \(S\) à \(Q\) est une des côtés du quadrilatère original.
      • \(Q\) à \(T\) est l’image par translation de \(Q\).
      • \(T\) à \(P\) est une translation parallèle.
      • \(P\) à \(S\) est un côté du quadrilatère original.
    • Propriétés :
      • Les côtés opposés sont parallèles :
        • \(SQ \parallel TP\) (car obtenus par translation).
        • \(SP \parallel QT\) (car translation conserve la direction).
      • Les côtés opposés sont de même longueur (isométrie).
    • Conclusion :
      • \(SQTP\) est un parallélogramme.
  2. Quadrilatère \(PSUR\) :
    • Observons les points :
      • \(P\) à \(S\) est une des côtés du quadrilatère original.
      • \(S\) à \(U\) est l’image par translation de \(S\).
      • \(U\) à \(R\) est une translation parallèle.
      • \(R\) à \(P\) est un côté du quadrilatère original.
    • Propriétés :
      • Les côtés opposés sont parallèles :
        • \(PS \parallel UR\).
        • \(PU \parallel SR\).
      • Les côtés opposés sont de même longueur.
    • Conclusion :
      • \(PSUR\) est un parallélogramme.
d. Quelle est l’image du triangle \(PQR\) par la translation qui envoie \(P\) sur \(S\) ?

Correction :

  1. Définition de la translation :
    • La translation \(\vec{u} = \overrightarrow{PS} = (1,3)\).
  2. Application de la translation au triangle \(PQR\) :
    • Chaque point du triangle est déplacé selon le vecteur \(\vec{u}\).
      • \(P\) est envoyé sur \(S\).
      • \(Q\) est envoyé sur \(T\).
      • \(R\) est envoyé sur \(U\).
  3. Conclusion :
    • L’image du triangle \(PQR\) par la translation est le triangle \(SUR\).
e. Comparez les aires des triangles \(PSU\) et \(TQU\) d’une part, et des triangles \(SQT\) et \(SPT\) d’autre part.

Correction :

  1. Triangles \(PSU\) et \(TQU\) :
    • Observation :
      • La translation est une isométrie qui conserve les aires.
      • \(PSU\) est obtenu par translation de \(PQR\) vers \(S\).
      • \(TQU\) est une partie de ce triangle après translation.
    • Conclusion :
      • Les aires des triangles \(PSU\) et \(TQU\) sont égales.
  2. Triangles \(SQT\) et \(SPT\) :
    • Observation :
      • Ces triangles font partie du quadrilatère \(SQTP\), qui est un parallélogramme.
      • Dans un parallélogramme, les triangles formés par une de ses diagonales ont la même aire.
    • Conclusion :
      • Les aires des triangles \(SQT\) et \(SPT\) sont égales.
f. Comparez les aires des triangles \(PQR\) et \(SUR\).

Correction :

  1. Nature de la translation :
    • La translation est une isométrie qui conserve les aires.
  2. Application de la translation au triangle \(PQR\) :
    • L’image du triangle \(PQR\) est le triangle \(SUR\).
  3. Conclusion :
    • Les aires des triangles \(PQR\) et \(SUR\) sont égales. \[ \text{Aire}(PQR) = \text{Aire}(SUR) \]
g. Justifiez votre réponse à la question b.

Correction :

Dans la question b, nous avons observé que les aires des quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\) sont égales.

Justification :

  1. Propriété de la translation :
    • La translation est une transformation géométrique qui déplace chaque point d’une figure d’un vecteur fixe.
    • Cette transformation conserve les longueurs, les angles et les aires des figures.
  2. Application au quadrilatère \(PQRS\) :
    • En appliquant la translation \(\vec{u}\) qui envoie \(P\) sur \(S\), tous les points du quadrilatère original sont déplacés de manière identique.
    • Ainsi, le quadrilatère image \(QTUS\) a les mêmes longueurs de côtés et les mêmes angles que \(PQRS\).
  3. Conclusion :
    • Puisque la translation conserve les aires, les aires des quadrilatères \(QTUS\) et \(PQRS\) sont égales. \[ \text{Aire}(QTUS) = \text{Aire}(PQRS) \]
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