Exercice 16

Question :

1. Quel solide obtient-on en faisant tourner un carré autour de l’un de ses côtés ?

2. Quel solide obtient-on en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés ?

Réponse

Lorsque l’on fait tourner un carré ou un rectangle autour de l’un de leurs côtés, on obtient un cylindre.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question a)

Quel solide obtient-on en faisant tourner un carré autour de l’un de ses côtés ?

Réponse : On obtient un cylindre.

Explication détaillée :

1. Comprendre la rotation :

   • Figure de départ : Un carré a quatre côtés égaux et quatre angles droits.
   • Axe de rotation : L’un des côtés du carré sert d’axe autour duquel le carré va tourner.

2. Visualiser la rotation :

   • Imaginez que le carré est fixé sur un de ses côtés. Lorsque le carré tourne autour de ce côté, chaque point du carré décrit un cercle dans l’espace.
   • Le côté autour duquel le carré tourne reste fixe et constitue l’axe central du solide.

3. Analyser le mouvement :

   • Haut et bas du carré : Les deux autres côtés du carré (ceux qui ne sont pas l’axe de rotation) se déplacent en décrivant des cercles de même rayon, égal à la longueur du côté du carré.
   • Faces du solide : En se déplaçant, ces côtés génèrent des surfaces courbes qui forment le solide.

4. Identifier le solide formé :

   • Le mouvement décrit par le carré crée une surface latérale courbe parfaitement cylindrique.
   • La hauteur du cylindre correspond à la longueur du côté du carré utilisé comme axe de rotation.
   • Le rayon du cylindre est égal à la distance entre l’axe de rotation et le côté opposé du carré, qui est la même que la longueur d’un côté du carré.

5. Conclusion :

   • La rotation du carré autour de l’un de ses côtés génère un cylindre dont :
     • Hauteur (h) : Longueur du côté du carré (égal au côté de rotation).
     • Rayon (r) : Même que la longueur du côté du carré.

Représentation en LaTeX :

Le solide obtenu est un cylindre de hauteur \(h\) et de rayon \(r\), où \(h = r\) égale à la longueur du côté du carré.

\[ \text{Volume du cylindre} = \pi r^2 h \]

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Question b)

Quel solide obtient-on en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés ?

Réponse : On obtient un cylindre.

Explication détaillée :

1. Comprendre la rotation :

   • Figure de départ : Un rectangle a deux paires de côtés parallèles, avec des longueurs différentes.
   • Axe de rotation : L’un des côtés du rectangle sert d’axe autour duquel le rectangle va tourner.

2. Visualiser la rotation :

   • Imaginez que le rectangle est fixé sur un de ses côtés. Lorsque le rectangle tourne autour de ce côté, chaque point du rectangle décrit un cercle dans l’espace.
   • Le côté autour duquel le rectangle tourne reste fixe et constitue l’axe central du solide.

3. Analyser le mouvement :

   • Longueur du rectangle : La longueur du rectangle détermine la hauteur du cylindre.
   • Largeur du rectangle : La largeur du rectangle détermine le rayon du cylindre, car c’est la distance maximale entre l’axe de rotation et le côté opposé du rectangle.

4. Identifier le solide formé :

   • Le mouvement décrit par le rectangle crée une surface latérale courbe parfaitement cylindrique.
   • La hauteur du cylindre correspond à la longueur du côté utilisé comme axe de rotation.
   • Le rayon du cylindre est égal à la distance entre l’axe de rotation et le côté opposé du rectangle, qui correspond à la largeur du rectangle.

5. Conclusion :

   • La rotation du rectangle autour de l’un de ses côtés génère un cylindre dont :
     • Hauteur (h) : Longueur du côté du rectangle utilisé comme axe de rotation.
     • Rayon (r) : Largeur du rectangle.

Représentation en LaTeX :

Le solide obtenu est un cylindre de hauteur \(h\) et de rayon \(r\), où \(h\) correspond à la longueur du côté de rotation et \(r\) à la largeur du rectangle.

\[ \text{Volume du cylindre} = \pi r^2 h \]

Remarque :

• Non-détermination du type de rectangle : Que le rectangle soit long ou large, la rotation autour de l’un de ses côtés produit toujours un cylindre. La différence réside uniquement dans les dimensions du cylindre (hauteur et rayon).

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Synthèse

Dans les deux cas, que ce soit pour un carré ou un rectangle, la rotation autour de l’un de leurs côtés aboutit à la formation d’un cylindre. La différence principale réside dans les dimensions spécifiques du cylindre déterminées par les longueurs des côtés du carré ou du rectangle utilisés comme axe de rotation.