Exercice 15

Question :

1. Trace les segments \([EF]\) et \([GH]\) de même longueur, de sorte que les droites \((EF)\) et \((GH)\) ne soient pas parallèles.

2. Construis le centre \(O_{1}\) de la rotation \(r_{1}\) qui transforme \(E\) en \(G\) et \(F\) en \(H\).

3. Construis le centre \(O_{2}\) de la rotation \(r_{2}\) qui transforme \(E\) en \(H\) et \(F\) en \(G\).

Réponse

Résumé de la correction :

1. Tracer les segments \([EF]\) et \([GH]\) de même longueur en vérifiant qu’ils ne sont pas parallèles en ajustant leur orientation.

2. Construire le centre de rotation \(O_{1}\) en traçant les médiatrices des segments \([EG]\) et \([FH]\), puis en trouvant leur point d’intersection.

3. Construire le centre de rotation \(O_{2}\) en traçant les médiatrices des segments \([EH]\) et \([FG]\), puis en déterminant leur point d’intersection.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Question a.

Trace les segments \([EF]\) et \([GH]\) de même longueur, de sorte que les droites \((EF)\) et \((GH)\) ne soient pas parallèles.

Étapes de résolution :

1. Tracer le segment \([EF]\) :
   • Commence par tracer un segment \([EF]\) de la longueur souhaitée sur ton papier.
   • Utilise une règle pour assurer la précision de la longueur.
2. Tracer le segment \([GH]\) de même longueur que \([EF]\) :
   • Mesure la longueur du segment \([EF]\) avec une règle.
   • Place un point \(G\) sur le plan où tu souhaites commencer le segment \([GH]\).
   • À partir de \(G\), utilise la même longueur mesurée pour dessiner le segment \([GH]\) jusqu’au point \(H\).
3. Vérifier que les droites \((EF)\) et \((GH)\) ne sont pas parallèles :
   • Assure-toi que les segments \([EF]\) et \([GH]\) ne sont pas orientés de la même manière.
   • Par exemple, si \((EF)\) est horizontal, \((GH)\) peut être incliné à un angle différent.
   • Utilise un rapporteur d’angles pour vérifier que les droites ne sont pas à un angle de \(0^\circ\) ou \(180^\circ\) l’une par rapport à l’autre.

Illustration :

Figure : Segments \([EF]\) et \([GH]\) de même longueur et non parallèles.

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Question b.

Construis le centre \(O_{1}\) de la rotation \(r_{1}\) qui transforme \(E\) en \(G\) et \(F\) en \(H\).

Étapes de résolution :

1. Comprendre la rotation :
   • Une rotation transforme chaque point d’un objet autour d’un centre de rotation en tournant d’un certain angle.
   • Ici, la rotation \(r_{1}\) transforme le point \(E\) en \(G\) et le point \(F\) en \(H\).
2. Tracer les segments \([EG]\) et \([FH]\) :
   • Trace le segment \([EG]\) reliant les points \(E\) et \(G\).
   • Trace le segment \([FH]\) reliant les points \(F\) et \(H\).
3. Trouver le centre de rotation \(O_{1}\) :
   • Le centre de rotation est le point équidistant de \(E\) et \(G\), ainsi que de \(F\) et \(H\).
   • Pour le trouver, construis les médiatrices des segments \([EG]\) et \([FH]\).
     • Médiatrice de \([EG]\) :
       • Trouve le milieu de \([EG]\) (appelons-le \(M\)).
       • Trace la médiatrice en traçant une droite perpendiculaire à \([EG]\) passant par \(M\).
     • Médiatrice de \([FH]\) :
       • Trouve le milieu de \([FH]\) (appelons-le \(N\)).
       • Trace la médiatrice en traçant une droite perpendiculaire à \([FH]\) passant par \(N\).
   • Le point d’intersection des deux médiatrices est le centre de rotation \(O_{1}\).
4. Vérification :
   • Mesure les distances \(O_{1}E\) et \(O_{1}G\) pour s’assurer qu’elles sont égales.
   • Mesure également les distances \(O_{1}F\) et \(O_{1}H\) pour vérifier l’égalité.

Illustration :

Figure : Construction du centre de rotation \(O_{1}\).

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Question c.

Construis le centre \(O_{2}\) de la rotation \(r_{2}\) qui transforme \(E\) en \(H\) et \(F\) en \(G\).

Étapes de résolution :

1. Comprendre la rotation :
   • La rotation \(r_{2}\) transforme le point \(E\) en \(H\) et le point \(F\) en \(G\).
2. Tracer les segments \([EH]\) et \([FG]\) :
   • Trace le segment \([EH]\) reliant les points \(E\) et \(H\).
   • Trace le segment \([FG]\) reliant les points \(F\) et \(G\).
3. Trouver le centre de rotation \(O_{2}\) :
   • Le centre de rotation est le point équidistant de \(E\) et \(H\), ainsi que de \(F\) et \(G\).
   • Pour le trouver, construis les médiatrices des segments \([EH]\) et \([FG]\).
     • Médiatrice de \([EH]\) :
       • Trouve le milieu de \([EH]\) (appelons-le \(P\)).
       • Trace la médiatrice en traçant une droite perpendiculaire à \([EH]\) passant par \(P\).
     • Médiatrice de \([FG]\) :
       • Trouve le milieu de \([FG]\) (appelons-le \(Q\)).
       • Trace la médiatrice en traçant une droite perpendiculaire à \([FG]\) passant par \(Q\).
   • Le point d’intersection des deux médiatrices est le centre de rotation \(O_{2}\).
4. Vérification :
   • Mesure les distances \(O_{2}E\) et \(O_{2}H\) pour s’assurer qu’elles sont égales.
   • Mesure également les distances \(O_{2}F\) et \(O_{2}G\) pour vérifier l’égalité.

Illustration :

Figure : Construction du centre de rotation \(O_{2}\).

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Résumé des techniques utilisées :

• Médiatrice d’un segment : Une droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu. Elle est utilisée pour trouver le centre de rotation en assurant l’égalité des distances.

• Rotation géométrique : Transformation qui fait tourner chaque point d’un objet autour d’un centre fixe d’un certain angle, maintenant les distances du centre invariantes.

En suivant ces étapes, tu seras capable de tracer les segments demandés et de déterminer les centres des rotations correspondantes de manière précise et méthodique.