Exercice 11

Question :

Les deux parallélogrammes sont-ils toujours semblables ?
Les deux losanges sont-ils toujours semblables ?
Les deux triangles scalènes sont-ils toujours semblables ?
Les deux trapèzes sont-ils toujours semblés ?
Les deux hexagones réguliers sont-ils toujours semblables ?
Les deux ellipses sont-elles toujours semblables ?

Réponse

Résumé :

Les parallélogrammes, losanges, hexagones réguliers et ellipses sont toujours semblables car leurs angles sont égaux et leurs côtés proportionnels. En revanche, les triangles scalènes et les trapèzes ne le sont pas systématiquement.

Corrigé détaillé

Correction détaillée des exercices

Nous allons examiner chaque question une par une pour déterminer si les figures mentionnées sont toujours semblables. Pour cela, rappelons d’abord ce que signifie que deux figures soient semblables.

Deux figures sont semblables si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Cela signifie que les angles correspondants sont égaux et que les côtés correspondants sont proportionnels.

a) Les deux parallélogrammes sont-ils toujours semblables ?

Réponse : Oui, deux parallélogrammes sont toujours semblables.

Explication :

Définition du parallélogramme :
- Un parallélogramme est un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale.
- Il a également des angles opposés égaux.
Angles :
- Dans tous les parallélogrammes, les angles correspondants sont égaux. Cela signifie que les angles de l’un correspondent exactement aux angles de l’autre.
Rapport des côtés :
- Les côtés opposés des parallélogrammes sont égaux. Si l’on considère deux parallélogrammes, leurs côtés correspondants sont proportionnels puisque les longueurs sont maintenues proportionnellement.
Conclusion :
- Puisque les angles sont égaux et les côtés sont proportionnels, les deux parallélogrammes sont semblables.

b) Les deux losanges sont-ils toujours semblables ?

Réponse : Oui, deux losanges sont toujours semblables.

Explication :

Définition du losange :
- Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
- Les angles opposés sont égaux.
Angles :
- Tous les losanges ont deux angles aigus égaux et deux angles obtus égaux.
Rapport des côtés :
- Dans les losanges, tous les côtés sont de même longueur, donc le rapport des côtés correspondants est de 1.
Conclusion :
- Comme les angles sont identiques et les côtés proportionnels (rapport de 1), les deux losanges sont semblables.

c) Les deux triangles scalènes sont-ils toujours semblables ?

Réponse : Non, deux triangles scalènes ne sont pas toujours semblables.

Explication :

Définition du triangle scalène :
- Un triangle scalène est un triangle où tous les côtés ont des longueurs différentes.
- Les angles correspondants sont également tous différents.
Critères de similarité des triangles :
- Deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux (AAA),
- Ou si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles (SAS ou SSS).
Cas des triangles scalènes :
- Bien que chaque triangle scalène ait des angles différents, cela ne garantit pas qu’ils soient semblables.
- Pour que deux triangles scalènes soient semblables, il faut vérifier que les angles correspondent ou que les côtés sont proportionnels, ce qui n’est pas toujours le cas.
Conclusion :
- Sans information supplémentaire sur les angles ou les proportions des côtés, on ne peut pas affirmer que deux triangles scalènes sont toujours semblables.

d) Les deux trapèzes sont-ils toujours semblés ?

Réponse : Non, deux trapèzes ne sont pas toujours semblés.

Explication :

Définition du trapèze :
- Un trapèze est un quadrilatère qui a au moins une paire de côtés parallèles, appelés bases.
Types de trapèzes :
- Trapèze isocèle : les côtés non parallèles sont de même longueur et les angles à chaque base sont égaux.
- Trapèze quelconque : aucune condition particulière sur les côtés non parallèles.
Critères de similarité des trapèzes :
- Pour que deux trapèzes soient semblables, leurs angles correspondants doivent être égaux et les côtés correspondants doivent être proportionnels.
Problème :
- Les trapèzes peuvent varier grandement en termes de longueurs des bases et des côtés non parallèles.
- Sans des angles ou des proportions spécifiques, deux trapèzes peuvent avoir des formes différentes.
Conclusion :
- Étant donné la diversité des formes possibles des trapèzes, ils ne sont pas toujours semblables.

e) Les deux hexagones réguliers sont-ils toujours semblables ?

Réponse : Oui, deux hexagones réguliers sont toujours semblables.

Explication :

Définition de l’hexagone régulier :
- Un hexagone régulier est un polygone à six côtés de même longueur et à angles égaux (chaque angle mesure \(120^\circ\)).
Angles :
- Dans tous les hexagones réguliers, les angles correspondants sont égaux (\(120^\circ\)).
Rapport des côtés :
- Les côtés des hexagones réguliers sont tous de même longueur, donc le rapport des côtés correspondants est constant.
Conclusion :
- Puisque les angles sont identiques et les côtés proportionnels, les deux hexagones réguliers sont semblables.

f) Les deux ellipses sont-elles toujours semblables ?

Réponse : Oui, deux ellipses sont toujours semblables.

Explication :

Définition de l’ellipse :
- Une ellipse est une courbe plane où la somme des distances de deux points fixes (foyers) à n’importe quel point de la courbe est constante.
- Elle est caractérisée par son grand axe et son petit axe.
Angles et Forme :
- Bien que les ellipses puissent avoir différentes proportions (rapport entre les axes), leur forme générale reste la même.
Proportionnalité :
- Deux ellipses sont semblables si leurs axes sont proportionnels, c’est-à-dire si le rapport entre leurs grands axes est égal au rapport entre leurs petits axes.
Conclusion :
- En ajustant la taille de l’ellipse tout en conservant la forme, les deux ellipses restent semblables.