Exercice 10

Question :

1. Construis l’image \(P'Q'R'\) du triangle \(PQR\) par la rotation \(\mathcal{R}(M; 90^\circ)\).

2. Construis l’image \(P''Q''R''\) de \(P'Q'R'\) par une homothétie \(\mathcal{H}(M; 1,5)\).

3. Les triangles \(PQR\) et \(P''Q''R''\) sont-ils semblables ?

Réponse

Résumé de la correction :

1. Le triangle \(PQR\) est tourné de \(90^\circ\) autour de \(M\) pour obtenir \(P'Q'R'\).

2. Une homothétie de centre \(M\) et de rapport \(1,5\) est appliquée à \(P'Q'R'\), produisant \(P''Q''R''\).

3. Les triangles \(PQR\) et \(P''Q''R''\) sont semblables car ils ont des angles égaux et des côtés proportionnels.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question :

1. Construis l’image \(P'Q'R'\) du triangle \(PQR\) par la rotation \(\mathcal{R}(M; 90^\circ)\).

2. Construis l’image \(P''Q''R''\) de \(P'Q'R'\) par une homothétie \(\mathcal{H}(M; 1,5)\).

3. Les triangles \(PQR\) et \(P''Q''R''\) sont-ils semblables ?

---

a) Construction de l’image \(P'Q'R'\) par la rotation \(\mathcal{R}(M; 90^\circ)\)

Étapes de la construction :

1. Identifier le centre de rotation : Le centre est le point \(M\).

2. Tracer les segments \(MP\), \(MQ\) et \(MR\) : Ces segments relient chaque sommet du triangle \(PQR\) au centre \(M\).

3. Appliquer la rotation de \(90^\circ\) à chaque sommet :

   • Pour le point \(P\) :
     • À partir de \(M\), mesurer un angle de \(90^\circ\) dans le sens anti-horaire.
     • Tracer l’arc de cercle correspondant à cette rotation.
     • Le point où l’arc intersecte la direction du segment tracé sera \(P'\).
   • Répéter la même méthode pour les points \(Q\) et \(R\) afin d’obtenir \(Q'\) et \(R'\).

4. Relier les points \(P'\), \(Q'\) et \(R'\) : Cela forme le triangle \(P'Q'R'\), l’image du triangle \(PQR\) après la rotation.

Illustration :

[

]

---

b) Construction de l’image \(P''Q''R''\) par une homothétie \(\mathcal{H}(M; 1,5)\)

Étapes de la construction :

1. Identifier le centre de l’homothétie : Il s’agit du point \(M\).

2. Déterminer le rapport d’homothétie : Le rapport est \(1,5\).

3. Appliquer l’homothétie à chaque sommet de \(P'Q'R'\) :

   • Pour le point \(P'\) :
     • Tracer le segment \(MP'\).
     • Diviser ce segment en parties égales où chaque partie représente une unité de mesure.
     • Placer \(P''\) sur ce segment à une distance \(1,5\) fois la distance \(MP'\).
   • Répéter la même méthode pour les points \(Q'\) et \(R'\) afin d’obtenir \(Q''\) et \(R''\).

4. Relier les points \(P''\), \(Q''\) et \(R''\) : Cela forme le triangle \(P''Q''R''\), l’image du triangle \(P'Q'R'\) après l’homothétie.

Illustration :

[

]

---

c) Les triangles \(PQR\) et \(P''Q''R''\) sont-ils semblables ?

Réponse : Oui, ils sont semblables.

Explication :

Deux triangles sont dits semblables s’ils ont leurs angles correspondants égaux et les côtés proportionnels.

1. Transformation de la rotation : La rotation \(\mathcal{R}(M; 90^\circ)\) conserve les angles et les longueurs des côtés. Ainsi, le triangle \(P'Q'R'\) est congruent au triangle \(PQR\).

2. Transformation de l’homothétie : L’homothétie \(\mathcal{H}(M; 1,5)\) agrandit les longueurs des côtés par un facteur de \(1,5\), mais conserve les angles.

3. Composition des transformations : En combinant la rotation et l’homothétie, on obtient que chaque côté de \(P''Q''R''\) est \(1,5\) fois plus long que les côtés correspondants de \(PQR\), et que les angles restent inchangés.

4. Conclusion : Puisque les angles sont égaux et les côtés proportionnels, les triangles \(PQR\) et \(P''Q''R''\) sont semblables.

Formellement :

\[ \frac{P''Q''}{PQ} = \frac{Q''R''}{QR} = \frac{R''P''}{RP} = 1,5 \quad \text{et} \quad \angle PQR = \angle P''Q''R'' \]

Ainsi, par le critère de similarité (angles égaux et côtés proportionnels), les triangles sont semblables.