Exercice 46
Question : Comment déterminer la hauteur d’un arbre
sans y grimper, en utilisant un bâton d’un mètre de long et une ficelle
?
Réponse
Pour mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper, placez un bâton de
1 mètre verticalement et mesurez ses ombres ainsi que celles de l’arbre
à la même heure. Utilisez la proportion \(H_{\text{arbre}} = \frac{1 \times \text{ombre
arbre}}{\text{ombre bâton}}\) pour calculer la hauteur de
l’arbre.
Corrigé détaillé
Correction détaillée : Détermination de la hauteur d’un arbre
sans y grimper
Pour déterminer la hauteur d’un arbre sans avoir à y grimper, en
utilisant un bâton d’un mètre de long et une ficelle, nous pouvons
utiliser la méthode des proportions basée sur les triangles semblables.
Voici les étapes détaillées :
Matériel nécessaire
- Un bâton de 1 mètre de long
- Une ficelle
- Un endroit ensoleillé pour pouvoir observer les ombres
Étapes de la méthode
- Mesurer la longueur de l’ombre du bâton :
- Placez le bâton verticalement dans le sol.
- À la même heure que vous mesurerez l’ombre de l’arbre, mesurez la
longueur de l’ombre du bâton.
- Supposons que l’ombre du bâton mesure \(L_1\) mètres.
- Mesurer la longueur de l’ombre de l’arbre :
- Trouvez un moment où le soleil est suffisamment présent pour que
l’arbre projette une ombre bien définie.
- Mesurez la longueur de l’ombre de l’arbre.
- Supposons que l’ombre de l’arbre mesure \(L_2\) mètres.
- Établir la proportion :
- Les triangles formés par le bâton et son ombre, ainsi que par
l’arbre et son ombre, sont semblables. Cela signifie que les rapports
entre les côtés correspondants sont égaux.
- La hauteur du bâton (\(H_1 = 1\)
mètre) est à sa longueur d’ombre (\(L_1\)) ce que la hauteur de l’arbre (\(H_2\)) est à sa longueur d’ombre (\(L_2\)).
- Formule de la proportion : \[
\frac{H_1}{L_1} = \frac{H_2}{L_2}
\] Où :
- \(H_1 = 1\) mètre (hauteur du
bâton)
- \(L_1 =\) longueur de l’ombre du
bâton
- \(H_2 =\) hauteur de l’arbre
(inconnue)
- \(L_2 =\) longueur de l’ombre de
l’arbre
- Calculer la hauteur de l’arbre (\(H_2\)) :
- Réarrangeons la formule pour trouver \(H_2\) : \[
H_2 = \frac{H_1 \times L_2}{L_1}
\]
- Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Exemple concret
Supposons que : - L’ombre du bâton (\(L_1\)) mesure 1,5 mètre. - L’ombre de
l’arbre (\(L_2\)) mesure 9 mètres.
Calculons la hauteur de l’arbre (\(H_2\)) : \[
H_2 = \frac{1 \, \text{m} \times 9 \, \text{m}}{1,5 \, \text{m}} =
\frac{9}{1,5} = 6 \, \text{m}
\] Donc, la hauteur de l’arbre est de 6 mètres.
Conclusion
En utilisant un bâton de 1 mètre et une ficelle pour mesurer les
ombres à la même heure, il est possible d’établir une proportion simple
entre la hauteur du bâton et celle de l’arbre. Cette méthode repose sur
les propriétés des triangles semblables et permet de déterminer la
hauteur de l’arbre de manière précise et sans escalader.