Question : Deux bâtiments sont alignés, séparés par une distance de \(15\,\mathrm{m}\). Le premier bâtiment a une hauteur de \(10\,\mathrm{m}\), tandis que le deuxième mesure \(20\,\mathrm{m}\). Léa se trouve à \(18\,\mathrm{m}\) du premier bâtiment, avec ses yeux situés à \(1,60\,\mathrm{m}\) du sol. Peut-elle voir le deuxième bâtiment ?
Réponse : Oui, Léa voit le deuxième bâtiment par le haut. En effet, la droite joignant ses yeux au sommet du bâtiment se trouve à environ 11,64 m au niveau du premier bâtiment (10 m), ce qui lui permet de voir environ les 3 m supérieurs du deuxième bâtiment.
Nous allons étudier la situation en représentant les points importants sur une droite horizontale. Pour simplifier, nous placerons Léa à l’origine (point O) et considérerons les bâtiments placés devant elle sur la même ligne droite.
Schéma simplifié de la situation :
• Position de Léa : x = 0, avec ses yeux situés à 1,60 m du sol
• Premier bâtiment : sa façade est à 18 m de Léa (x = 18) et sa hauteur
est 10 m
• Deuxième bâtiment : ses façade est à 15 m après le premier bâtiment,
donc à x = 18 + 15 = 33 m, et sa hauteur est 20 m
Le problème consiste à savoir si, malgré la présence du premier bâtiment qui peut gêner la vue, Léa peut tout ou partie voir le deuxième bâtiment. Pour cela, nous allons examiner la ligne de visée reliant les yeux de Léa au sommet du deuxième bâtiment.
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Étape 1 : Déterminer l’équation de la droite joignant les yeux de Léa au
sommet du deuxième bâtiment
Les coordonnées de Léa sont : (0 ; 1,60)
Celles du sommet du deuxième bâtiment sont : (33 ; 20)
Calculons la pente (m) de cette droite : m = (20 – 1,60) / (33 – 0) = 18,40 / 33 ≈ 0,5576
L’équation de la droite passant par O est donc : y = 1,60 + 0,5576 · x
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Étape 2 : Déterminer la hauteur de la ligne de visée au niveau du
premier bâtiment
Le premier bâtiment se trouve à x = 18 m. On calcule y lorsque x = 18
: y = 1,60 + 0,5576 · 18
y ≈ 1,60 + 10,0368 ≈ 11,64 m
Cette hauteur (environ 11,64 m) représente la hauteur de la ligne de visée au niveau de la façade du premier bâtiment.
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Étape 3 : Comparer cette hauteur avec la hauteur du premier bâtiment
La hauteur du premier bâtiment est de 10 m. On constate que : 11,64 m > 10 m
Cela signifie que la droite de visée passant par le sommet du deuxième bâtiment se situe au-dessus du sommet du premier bâtiment. Autrement dit, le premier bâtiment ne bloque pas la ligne de visée vers le sommet du deuxième bâtiment.
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Étape 4 : Interprétation pour la visibilité du deuxième bâtiment
Si Léa regarde en direction du deuxième bâtiment, la partie visible sera celle située au-dessus de la ligne qui tangentiellement passe par le haut du premier bâtiment. Pour vérifier, on peut se placer du point de vue de la tangente à partir des yeux de Léa qui coïncide avec le sommet du premier bâtiment.
Calculons cette pente tangentielle : pente_tangentielle = (10 – 1,60) / 18 = 8,40 / 18 ≈ 0,4667
À la position du deuxième bâtiment (x = 33 m), la hauteur de cette
tangente serait : y = 1,60 + 0,4667 · 33
y ≈ 1,60 + 15,40 = 17 m
Cela signifie que, pour x = 33 m, toute la partie du deuxième bâtiment se trouvant au-dessus de 17 m sera visible pour Léa. Le deuxième bâtiment ayant une hauteur de 20 m, la tranche visible (du haut) aura environ une hauteur de 20 m – 17 m = 3 m.
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Conclusion
Même si le premier bâtiment bloque la vue des parties basses du deuxième bâtiment, Léa peut tout de même voir la partie supérieure, car la ligne de visée reliant ses yeux au sommet du deuxième bâtiment passe clairement au-dessus du premier bâtiment.
Réponse : Oui, Léa peut voir le deuxième bâtiment (au moins en partie, notamment sa portion supérieure).