Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 6\,\text{cm}\), \(AC = 5\,\text{cm}\) et \(BC = 4{,}5\,\text{cm}\). On appelle \(N\) le point de la demi-droite \((AC)\) tel que \(AN = 7\,\text{cm}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(N\) intersecte \((AB)\) en \(P\). Détermine la longueur de \(AP\).
AP = 42/5 cm.
Nous avons le triangle ABC avec les longueurs suivantes :
AB = 6 cm,
AC = 5 cm,
BC = 4,5 cm.
On a également un point N sur la demi-droite (AC) tel que AN = 7 cm. Cela signifie que N se situe sur la droite passant par A et C, mais au-delà du point C puisque AC = 5 cm.
La droite passant par N et parallèle à (BC) coupe la droite (AB) au point P. Il s’agit ici d’une situation où le théorème de Thalès (ou des rapports homologues) s’applique dans le triangle ABC.
Étapes de la résolution :
Dans le triangle ABC, la droite passant par N (sur (AC)) et parallèle à (BC) coupe (AB) en P. Le théorème de Thalès nous indique alors que les rapports entre les segments sur les côtés correspondants sont égaux. Plus précisément, on a la proportion suivante : AP / AB = AN / AC.
On connaît AB et AC ainsi que AN. Remplaçons par leurs valeurs : AP / 6 = 7 / 5.
Pour trouver AP, on effectue le calcul : AP = 6 × (7 / 5) = (6 × 7) / 5 = 42 / 5.
Ainsi, la longueur de AP est 42/5 cm, ce qui peut également être exprimé sous forme décimale en 8,4 cm.
Conclusion : La longueur du segment AP est égale à 42/5 cm.